DV n°3 1S1 28 / 11/ 09

            Devoir n° 3       1S1            28/11/09

           PROBLEME     n ° 106     Livre Didier  

          ABCD est un trapèze rectangle tel que AB = 6 , CD = 2 et AD = 4.

          Un point M décrit le segment [AD].

          On construit le rectangle AMNP avec N sur [BC] et P sur [AB].

          On pose x = AM.

                     

             1. Quel intervalle décrit x ?

             2. a. Quelle est la nature du triangle BPN ?

                 b. En déduire BP en fonction de x.

                 c. Montrer que l'aire du rectangle AMNP est f( x ) = - x² + 6 x .

                 d. Dresser le tableau de variation de la fonction f ainsi définie dans [0 ; 4 ].

             3. a. Calculer l'aire du trapèze ABCD.

                 b. En déduire que l'aire g( x ) du triangle BMC est g( x ) = 12 - 2 x.

             4. Tracer les courbes représentant les aires du rectangle AMNP et du triangle BMC.

                  ( C'est-à-dire tracer les courbes des fonctions f et g  sur l'intervalle [0;4]. )

             5. Déterminer les valeurs de x telles que:

                  a. L'aire du rectangle AMNP soit maximale.

                  b. Le rectangle AMNP et le triangle BMC aient la même aire.

                  c. L'aire du rectangle AMNP soit supérieure à celle du triangle BMC.

               6. Expliquer comment vérifier graphiquement les résultats de la question 5.

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           PROBLEME n° 107    Livre Didier         

                          Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                  Soit  f( x ) = ( 2 x - 1 ) / ( x - 1 )     pour tout x dans IR- { 1 }.

               1.Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x dans IR- { 1 } ,

                   f( x ) = a +  b / ( x - 1 )

              2. En déduire le tracé de la courbe ( C ) représentant  f  avec

                  pour unité graphique 1 cm.

              3. Soit la droite d'équation y = - x + 1.

                 a. Tracer D sur le même graphique que ( C ).   

                 b. Résoudre l'inéquation f( x ) ≤ - x + 1.

                 c. Interpréter graphiquement .

               4. Pour tout réel m , on note Dm    la droite d'équation y = - x + m.

                    a. Que peut-on dire des droites D et Dm ?

                    b. Conjecturer graphiquement le nombre de points communs

                         à  C  et  Dm   suivant  les valeurs de m.

                    c. Retrouver  les résultats par le calcul.

                5. Reprendre la question 4. pour les droites Δm d'équation

                        y = m x + 1.

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