INTRO NOMBRES COMPLEXES

INTRODUCTION AUX NOMBRES COMPLEXES                 16 JUIN 2009       TS

        •   INTRODUCTION:  INVENTION DE i .

       Soit l'équation du second degré : x² + 1 = 0.

       Dans IR , l'ensemble solution est l'ensemble vide Ø.

     ( Pour tout réel x on a en effet x² + 1 > 0 )

     L'idée, qui est venue à certains matheux, est d'inventer un nombre non réel ,

    donc imaginaire, noté i tel que i² = - 1.

     Dès lors i est solution de l'équation   x² +1 = 0 ,  comme  i² + 1 = 0 .

     En supposant que les règles algébriques usuelles dans IR demeurent,  on a aussi - i

     qui est solution de l'équation x² +1 = 0  comme  ( - i )² + 1 = i² + 1 = 0.

     Dans un nouvel ensemble plus vaste que IR , contenant i et  - i ,

     l'ensemble solution devient { - i ; i }.

      Pendant longtemps les matheux ont noté ce nombre imaginaire i  sous la forme

      à présent interdite   √( - 1 ).  On a visualisé i  graphiquement de la façon suivante:

       

        Par convention on considère  i = 0 + 1.i

          0 est sa partie réelle.

         1 est sa partie   imaginaire   

      •  AUTRE EXEMPLE.

              Soit l'équation x² + x + 1 = 0.

               Dans IR ,en première S , on a vu que le discriminant  Δ = b² - 4ac

               est:     Δ = 1² - 4 = - 3.

               On a:     Δ < 0.

               Dans  IR on a donc dit que l'ensemble solution était l'ensemble vide Ø.

               Que se passe-t-il  maintenant à la lumière de cette invention de i ?

               On a vu en Première S la forme canonique de  a x² + b x + c.

              a x² + b x + c = a [ x +  b / (2 a ) ]²  - Δ /( 4 a)       avec a ≠ 0

              ici :            a = b = c = 1

               x² + x + 1 = [ x + 1 / 2 ]² - ( - 3 / 4 )

               On peut écrire - 3 / 4 =  i² ( 3 / 2² ) = (   i√(3 ) / 2  )²

               - 3 / 4   s'écrit donc comme un carré.

              On en déduit :   x² + x + 1 = [ x + 1 / 2 ]² - (    i √(3 ) / 2  )²

              On factorise cette différence de deux carrés comme on le faisait dans IR.

                x² + x + 1 = [ x + 1 / 2 +   i √(3 ) / 2 ] [   x + 1 / 2 -   i √(3 ) / 2 ]

             c-à-d     x² + x + 1 = [ x + ( 1 + i √(3 ) ) / 2  ] [   x + ( 1 - i √(3 ) ) / 2 ]

              Ce produit de facteurs s'annule ssi :

                   x =  - ( 1 + i √(3 ) ) / 2          ou    x =  -  (1 - i √(3 ) ) / 2 

           c-à-d     x =  ( -1 - i √(3 ) ) / 2          ou    x =    ( -1 + i √(3 ) ) / 2 

          L'équation x² + x + 1 = 0 admet  à présent deux solutions

          qui sont :    ( -1 - i √(3 ) ) / 2         et     x =    ( -1 + i √(3 ) ) / 2 

          Ce ne sont pas des réels. 

         On les note:

             j =  ( -1 - i √(3 ) ) / 2     et       = ( -1 + i √(3 ) ) / 2 

         On va donc pouvoir résoudre les équations du second degré à coefficient réels

          même quand le discriminant est strictement négatif.

         Cette résolution va se faire dans un ensemble  plus vaste que IR.

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