EX 2 PROD SCAL 1S Avril 09

  EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE  1S1   AVRIL 2009

       EXERCICE 2

       Soit la droite D : y = - x + 1 + √3 .

       Soit le cercle C (  A( 1 ; 1 )  ; 2 ).

        Donner les coordonnées des points communs éventuels à la droite D

        et au cercle C .

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     Réponse:

           Figure. 

           Sur le plan simplement graphique on peut conjecturer que le cercle

           rencontre la droite en deux points . Le premier de coordonnées ( 0 ; 1 +  √3 ) , l'autre

           de coordonnées (  1 +  √3  ; 0 ).

            Montrons le par le calcul.

           Le cercle  C  a pour équation :  ( x - 1 )² + ( y - 1 )²  = 4 .

            Considérons donc le système d'équations :

                    ( x - 1 )² + ( y - 1 )²  = 4             L1  

                     y = - x + 1 + √3                       L2 

            Remplaçons y  dans la première égalité :

             Il vient :    ( x - 1 )² + (  - x + 1 + √3   - 1 )² = 4

             c-à-d            ( x - 1 )² + (  - x + √3   )² = 4

              c-à-d      x² - 2 x + 1 + x² + 3 -   2 √3  x - 4 = 0

              c-à-d     2 x² - 2 x  -   2 √3  x = 0

              c-à-d      x² -  x  -  √3  x = 0

              c-à-d     (x -  1 -   √3 ) x = 0

              c-à-d    x = 0 ou  x = 1 + √3 

            •   Pour x = 0                     L2     donne  y =  1 + √3 .

            •   Pour  x =  1 + √3           L2     donne  y =  0 .

          Conclusion :  Les deux points d'intersection sont de coordonnées

                    ( 0 ; 1 +  √3 )

                   et   (  1 +  √3  ; 0 ).

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