INFO DS n° 3 1S 22 Nov 08
EX.3 Soit les points A ( 1 ; 2 ) , B( - 3 ; 5 ) , C( - 4 ; - 2 ).
Soit I le point milieu du segment [ AB ].
1. a. Donnons les coordonnées du point G , isobarycentre des points ABC.
xG = ( 1 + ( - 3 ) + ( - 4 ) ) / 3 = - 6 / 3 = - 2
yG = ( 2 + 5 + ( - 2 ) ) / 3 = 5 / 3
Conclusion G( - 2 ; 5 / 3 ) .
b Donnons les coordonnées du point I milieu du segment (AB].
On a : xI = ( 1 + ( - 3 ) ) / 2 = - 2 / 2 = - 1
yI = ( 2 + 5) / 2 = 7 / 2
Conclusion I ( - 1 ; 7 / 2 ).
c. Donnons la distance IC.
On a : xC - xI = - 4 - ( - 1 ) = - 3
yC - yI = - 2 - ( 7 / 2 ) = - 11 / 2 Le vecteur vect IC ) est de coordonnées ( - 3 ; - 11 / 2 ). Donc IC = √ ( ( - 3 )² + ( - 11 / 2 )² ) = √ ( 9 + 121 / 4 ) c-à-d IC = √ ( 157 / 4 ) Conclusion IC = √( 157 / 4 ) ( environ 6,26 ) d. Donnons la réduction du vecteur vect( CA) + vect(CB) . Comme I est l'isobarycentre des points A et B , d'après la prop. fondamentale, avec M = C , on a : vect( CA ) + vect( CB ) = ( 1 + 1 ) vect( CI ) Conclusion vect ( CA) + vect( CB ) = 2 vect( CI ) 2. Soit M un point quelconque du plan. a. • Réduisons le vecteur vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC ) D'après la prop. fondamentale , comme G est l'isobarycentre des points ABC , on a : vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC ) = ( 1 + 1 + 1 ) vect( MG ) Conclusion: vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC = 3 vect( MG ). ( notée ( 1 ) ) • Réduisons également vect( MA ) + vect( MB ) . Comme I est l'isobarycentre des points AB et d'après la prop.fondamentale on a: vect( MA ) + vect( MB ) = ( 1 + 1 ) vect(MI ) Conclusion: vect( MA ) + vect( MB) = 2 vect( MI ). ( notée ( 3 ) ) b. Exprimons simplement le vecteur vect( MA ) + vect( MB) - 2 vect( MC ). Comme 1 + 1 - 2 = 0 ce vecteur ne dépend pas du choix du point M. On peut donc en remplaçant M par C obtenir: vect( MA ) + vect( MB) - 2 vect( MC ) = vect(CA ) + vect( CB) c-à-d vect( MA ) + vect( MB) - 2 vect( MC ) = 2 vect( CI ) d'après la question 1.d. Conclusion: vect( MA ) + vect( MB) - 2 vect( MC ) = 2 vect( CI ) . ( notée ( 2 ) ) 3. Trouvons l'ensemble V. L'égalité II vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC II = II vect( MA ) + vect( MB) - 2 vect( MC ) II grace à ( 1 ) et ( 2 ) devient : II 3 vect(MG ) II = II 2 vect( CI ) II c-à-d 3 MG = 2 CI c-à-d MG = ( 2 / 3 ) CI c-à-d MG = ( 2 / 3 ) √ ( 157 / 4 ) Conclusion: L' ensemble V est le cercle de centre G et de rayon ( 2 / 3 ) √ ( 157 / 4 ). 4. Trouvons l'ensemble U. L'égalité 2 II vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC) II = 3 II vect( MA ) + vect( MB) II grace à ( 1 ) et ( 3 ) s'écrit : 2 II 3 vect(MG ) II = 3 II 2 vect( MI ) II c-à-d 2 × 3 MG = 3 × 2 MI c-à-d MG = MI L'ensemble des points M du plan tels que MG = MI est la médiatrice du segment [ GI ). Conclusion: L' ensemble U est la médiatrice du segment [ GI ). 5. On représente le cercle V et la droit U. ----------------------------------------------------------------------