INFO. EX 3 DS 3 1S 22 Nov

INFO  DS n° 3        1S          22 Nov 08

         EX.3   Soit les points   A ( 1 ; 2 ) ,    B( - 3 ; 5 )  ,    C( - 4 ; - 2 ).

                   Soit I le point milieu du segment [ AB ].

           1. a.  Donnons  les coordonnées du point G , isobarycentre des points ABC.

                      x  = ( 1 + ( - 3 ) + ( - 4 )  ) / 3  = - 6 / 3 = - 2

                         yG     = (  2 + 5  + ( - 2 )  ) / 3 =  5 / 3

                   Conclusion           G(  - 2  ;  5 / 3 ) .

                b  Donnons les coordonnées du point I milieu du segment (AB].

                  On a :        x  = ( 1 + ( - 3 ) ) / 2  = - 2 / 2 = - 1

                                    yI     = ( 2 + 5) / 2 =   7 / 2

                   Conclusion           I (  - 1 ; 7 / 2 ).

                c. Donnons  la distance IC.

                      On a :           x -  x  =  - 4 - ( - 1 ) =  - 3  

                                          yC  -    yI    =  -  2 -  ( 7 / 2 ) = - 11 /  2

                     Le vecteur  vect IC )  est de coordonnées ( - 3 ;  - 11 / 2 ).

                     Donc     IC = √ (  ( - 3 )² + ( - 11 / 2 )² ) = √ ( 9 + 121 / 4 )

                      c-à-d             IC  =  √ ( 157 / 4 )

                     Conclusion           IC = √( 157 / 4 )    ( environ 6,26 )

                  d. Donnons  la réduction du vecteur vect( CA) + vect(CB) .

                   Comme I est l'isobarycentre des points  A et B , d'après  la prop.

                   fondamentale, avec M = C ,

                   on a :    vect( CA ) + vect( CB ) = ( 1 + 1 ) vect( CI )

                     Conclusion           vect ( CA) + vect( CB ) = 2 vect( CI )

            2. Soit M un point quelconque du plan.

                   a.

                      • Réduisons le vecteur vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC )

                        D'après la prop. fondamentale , comme G est l'isobarycentre des points

                         ABC , on a :   vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC ) = ( 1 + 1 + 1 ) vect( MG )

                        Conclusion:    vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC = 3 vect( MG ).  (  notée ( 1 ) )

                       •   Réduisons également vect( MA ) + vect( MB ) .

                            Comme I est l'isobarycentre des points AB et d'après la prop.fondamentale

                          on a:     vect( MA ) + vect( MB ) = ( 1 + 1 ) vect(MI )

                          Conclusion:    vect( MA ) + vect( MB) = 2 vect( MI ).     ( notée ( 3 ) )

                  b. Exprimons simplement le vecteur  vect( MA ) + vect( MB) - 2 vect( MC ).

                             Comme 1 + 1 - 2 = 0 ce vecteur ne dépend pas du choix du point M.

                             On peut donc en remplaçant M par C obtenir:

                              vect( MA ) + vect( MB) - 2 vect( MC ) = vect(CA ) + vect( CB)

                             c-à-d  vect( MA ) + vect( MB) - 2 vect( MC ) = 2 vect( CI )  

                              d'après la question 1.d.

                        Conclusion:    vect( MA ) + vect( MB) - 2 vect( MC ) = 2 vect( CI ) .   ( notée ( 2 ) )

          3. Trouvons l'ensemble V. 

         L'égalité  II vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC  II  = II  vect( MA ) + vect( MB) - 2 vect( MC ) II

            grace à ( 1 ) et ( 2 ) devient :          II 3 vect(MG )  II =  II  2 vect( CI ) II

             c-à-d                  3 MG = 2 CI

             c-à-d                    MG = (  2 / 3 )  CI    

             c-à-d                     MG =   (  2 / 3 )  √ ( 157 / 4 )

                       Conclusion:    L' ensemble V  est le cercle de centre G et de

                                              rayon (  2 / 3 )  √ ( 157 / 4 ).

           4. Trouvons l'ensemble U.

              L'égalité   2 II  vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC) II  = 3 II  vect( MA ) + vect( MB) II

              grace  à ( 1 ) et  ( 3 )  s'écrit :

                                2   II 3 vect(MG ) II   =  3   II 2 vect( MI ) II

                 c-à-d           2 × 3 MG   = 3 × 2 MI

                c-à-d             MG = MI

               L'ensemble des points M du plan tels que MG = MI  est la médiatrice du segment [ GI ).

                    Conclusion:    L' ensemble U est la médiatrice du segment [ GI ).

          5. On représente le cercle V et la droit U.

----------------------------------------------------------------------