EXERCICE 1ES SUR : LOI BINOMIALE

                 EXERCICE SUR LES VARIABLES ALEATOIRES DE LOI BINOMIALES        Mai 2012    1ES-L

     EXERCICE 

        Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher.

           urne-contenant-10-boules.jpg

        Il y a  5 boules rouges.

        Il y a 2 boules noires.

       Il y a 3 boules jaunes.

        On répète 10 fois, successivement à l'identique,  l'expérience consistant

        à tirer une boule parmi les 10 boules de l'urne.

        Soit X la v.a.r. qui associe le nombre de fois qu'on a une boule jaune.

       1.  Trouver P( X = 6 ).

       2. Puis trouver   P( X≤ 6 ).

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       Réponse: 

             Cela revient à tirer successivement avec remise 10 boules de l'urne.

         •   Chaque fois qu'on tire une boule de l'urne on est dans une situation 

           d'équiprobabilité.

            La probabilité d'avoir une boule " jaune " est  3 / 10 puisque il y a 3 

             boules jaune parmi les 10 boules de l'urne.

      1. Calculons:    P ( X = 6 )

                •    Comme on répète à l'identique , donc de façon indépendante,

                     n =10 fois une épreuve de Bernoulli dont les deux issues sont

                    " jaune" , " non jaune"

                    avec p = 3 / 10  la probabilité de "jaune" ,

                    la variable aléatoire X qui associe le nombre de 

                   fois que l'on obtient " jaune " est de loi binomiale de type B( 10 ; 3 / 10 ).

                    Ainsi :

                                    P( X = k ) = C10 k  ( 3 / 10 )k × ( 7 / 10 )10 - k               

                           pour tout  k dans { 0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;5 ;6 ; 7 ; 8 ; 9 ;10 }

             Donc  ici  :

                            P( X = 6 ) = C10 6  ( 3 / 10 )6 × ( 7 / 10 )10 - 6               

              c-à-d

                            P( X = 6 ) = C10 6  ( 3 / 10 )6 × ( 7 / 10 )4      

               c-à-d      

                                  P( X = 6 ) = 210 × 0,36 × (0,74               

               Conclusion:       P( X = 6 )  ≈   0,0368

           Avec la Calculatrice TI 84:

                       2ND         VARS         

                      Descendre jusqu' à la ligne:

                         binompdf(                        puis    ENTER

                     Il apparaît à l'écran :

                          binompdf(    

                     Mettre    1 0   car n = 10  ici

                    puis  virgule     ,  

                    puis  3 / 10     car ici    p = 0,3 

                       puis  virgule     ,  

                     puis  6    car k = 6

                    Enfin        ENTER

                      Il apparaît à l'écran :       .0368    c-à-d     0,0368

        2.   Calculons  à présent:      P ( X  ≤ 6 )   

                  A la calculatriceTI 84 le résultat est immédiat:               

                        2ND         VARS         

                      Descendre jusqu' à la ligne qui suit   binompdf(      

                         c-à-d 

                         binomcdf(                        puis    ENTER 

                     Il apparaît à l'écran :

                          binomcdf(    

                     Mettre    1 0   car n = 10  ici

                    puis  virgule     ,  

                    puis  3 / 10     car ici    p = 0,3 

                       puis  virgule     ,  

                     puis  6    car   on veut   P(  X ≤ 6 )

                    Enfin        ENTER

                      Il apparaît à l'écran :       .09894    c-à-d     0,9894

                    Conclusion :    P(   X ≤ 6 ) ≈  0,9894

                  SINON  il faut calculer les probabilités suivantes puis les ajouter:

                      P( X = 0 )  ≈ 0,0282

                     P ( X = 1 )  ≈ 0,1211

                     P ( X = 2 )  ≈ 0,2335

                    P( X = 3 )  ≈   0,2668

                     P( X = 4 )    ≈  0,2001

                     P( X = 5 )    ≈ 0,1029

                     P( X = 6 )    ≈ 0,0368

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        Sommons :  P( X ≤ 6 ) ≈   0,9894

                      Conclusion :    P ( X ≤ 6 ) ≈  0,9894