EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE 1S AVRIL 09
EXEXRCICE 12
Les équations suivantes sont-elles des équations de cercle.
1. x² + y² + 4 x + 2 y + 6 = 0.
2. x² + y² - 2x + 6 y = - 9
3. x² + y² + 2 x - 6 y + 10 = 0
-----------------------------------------------------
Réponse:
1. • x² + y² + 4 x + 2 y + 6 = 0
s'écrit ( x + 2 )² - 2² + ( y + 1 )² -1² + 6 = 0
c-à-d ( x + 2 )² + ( y + 1 )² + 1 = 0
c-à-d ( x + 2 )² + ( y + 1 )² = - 1
IMPOSSIBLE
Conclusion : Ce n'est pas une équation de cercle
• Une autre méthode par identification est possible mais plus compliquée.
On met en parallèle : x² + y² - 2 a x - 2 b y + a² + b² - R² = 0
et l'équation donnée x² + y² + 4 x + 2 y + 6 = 0.
Par identification on pose : 4 = - 2 a 2 = - 2 b 6 = a² + b² - R²
Il vient : a = - 2
b = - 1
6 = ( - 2 )² + ( - 1 )² - R² c-à-d 6 = 5 - R² c-à-d R² = - 1
IMPOSSIBLE .
Même conclusion..
2. x² + y² - 2 x + 6 y = - 9
s'écrit ( x - 1 )² - 1² + ( y + 3 )² - 3² = - 9
c-à-d ( x - 1 )² + ( y - ( - 3 ) )² - 10 = - 9
c-à-d ( x - 1 )² + ( y - ( - 3 ) )² = 1²
C'est de la forme ( x - a )² + ( y - b )² = R²
Conclusion: On a l'équation du cercle de centre I( 1 ; - 3 ) et de rayon 1.
3. x² + y² + 2 x - 6 y + 10 = 0
s'écrit : ( x + 1 )² - 1² + ( y - 3 )² - 3² + 10 = 0
c-à-d ( x + 1 )² + ( y - 3 )² = 0
c-à-d x = - 1 et y = 3
Conclusion: On n'a pas une équation de cercle.
Un seul point du plan a ses coordonnées qui vérifient l'équation.