Suite 1 du cours: Nb Complexes

Suite 1 du cours: Nb Complexes

  SUITE  1    DE LA LECON SUR  LES NOMBRES COMPLEXES                  Juin 2009      TS     

            • AFFIXE D'UN VECTEUR.

               Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect ( u ) , vect( v ) ).

               • •   L'affixe d'un vecteur vect( w ) est l'affixe z du point M tel que

                    vect( OM ) = vect( w ).

 

 

 

 

 

 

 

 

                • • Conséquence:

              Soit les points A et B d'affixes respectives  z A  et  zB .

              L'affixe du vecteur  vect ( AB )  est    zB -  z A .

               Explication:

                 Le vecteur vect ( AB ) est de coordonnées :   xB - xA 

                                                                                      yB  - yA  

                Le vecteur égal au vecteur vect( AB ) et d'origine O est donc

                 d'affixe  (  xB - xA  ) + i (  yB  - yA ).

                Donc l'affixe du vecteur  vect ( AB )   est  (  xB - xA  )+ i (  yB  - yA ).

                 Or         zA = xA + i yA  

                     et      zB = xB + i yB 

               Ainsi par différence

                         zB -  z A  = (  xB - xA  ) + i (  yB  - yA ) 

               Donc l'affixe du vecteur  vect ( AB )  est  

                                        zB -  z A .

            • Exemple 

              Soit les points A et B d'affixes respectives :

              z A =  1 + 2 i     et     zB =  3 - i

              Alors le vecteur vect AB ) est d'affixe :

                 zB -  z A   =   3 - i  - (   1 + 2 i  )  =  2 - 3 i    

                Conclusion:    zB -  z A   =  2 - 3 i    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           •CONJUGUE. 

               Soit le nombre complexe  z = a + i b.

              Son conjugué est :     =  a - i b

           • INTERPRETATION  DU CONJUGUE.

              Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect ( u ) , vect( v ) ).

              Soit le nombre complexe  z = a + i b. Soit le point M ( a ,b ) son image.

              Soit le point M' ( a , - b ),  l'image du nombre complexe =  a - i b.

              Les points M et M' ont la même abscisse et des ordonnées opposées.

              Les points  M( z )  et M' (   ) sont donc symétriques  par rapport à l'axe des abscisses.

           • MODULE.

             Soit le nombre complexe  z = a + i b.

             Le module de z  est le réel  positif    | z | = √( a² + b² ) .

           • Exemple .      

                                 Soit  j = - 1 / 2 +  i  √(3 ) / 2

             On a :        | j  | =  √ ( 1 / 4 + 3 / 4 ) =  √ 1 = 1

                  Conclusion :       | j  | =  1  

          • INTERPRETATION  DU  MODULE.


                       Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect ( u ) , vect( v ) ).

               Soit le nombre complexe  z = a + i b. Soit le point M ( a ,b ) son image.

               On a :  OM =   | z  |

           

 

 

 

 

 

 

 

     Explication: 

                                    Les coordonnées du vecteur vect ( OM ) sont:      a - 0

                                                                                                                b - 0

                Donc

                   OM =   √(  (a - 0 )² + ( b - 0 )²  ) = √(  a² +  b )²  = | z  |

                 c-à-d         OM = | z  |

                •DISTANCE

                  Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect ( u ) , vect( v ) ).

                           Soit le point A d'affixe             z A = xA + i yA  .

                           Soit le point B  d'affixe           zB = xB + i yB .

                     Alors    AB = | zB   -    z A |

 

 

 

 

 

 

 

 

         Explication:

                     On a :  zB -  z A  = (  xB - xA  ) + i (  yB  - yA )

                      Donc    | zB   -    z A |=   √ ( (  xB - xA  )² + (  yB  - yA )² )

                   Les coordonnées du vecteur vect(AB ) sont : xB - xA 

                                                                                        yB  - yA

                  Donc        AB =   √ ( (  xB - xA  )² + (  yB  - yA )² ) 

                   D'où       AB = | zB   -    z A |

                •Inégalité triangulaire

                  Soit les nombres complexes z , z'. 

                  On a :       | z + z' | ≤  | z | + | z ' |

                  Explications:

                    Soit  z" = z + z'.

                   Soit les points  M( z  )  , M' ( z' ) et M" ( z" ) .

                   Dans le triangle OMM" on peut dire :

                      OM" ≤ OM + MM" 

                      Or   MM" = OM'   sachant  que OMM"M' est un parallèlogramme.

                     Donc     OM" ≤ OM + OM'

                    c-à-d     | z + z' | ≤  | z | + | z ' |