INFO ACTIVITE DU 28 MARS 2009
Date: 28 Mars 09 Classe: 1S1 ATTENTION TRAVAIL INDISPENSABLE
ACTIVITE A REALISER. ( Faite en classe )
•Dans le plan muni d'un repère orthonormal , on a les points A( - 1 ; - 2 ) et B( 2 ; 1 ).
•• Compléter: vect( AB) est de coordonnées: ( 2 - ( - 1 ) ; 1 - ( - 2 ) )
c-à-d ( 3 ; 3 )
AB =√ ( 3² + 3² ) = √ 18 = 3 √ 2 AB = 3 √ 2
•• Le vecteur vect( AM ) a pour coordonnées : ( x - ( - 1 ) ; y - ( - 2 ) )
c-à- d ( x + 1 ; y + 2 )
Le vecteur vect( BM ) a pour coordonnées : ( x - 2 ; y - 1 )
•• Ona : AM² = ( x + 1 )² + ( y + 2 )² = x² + 2x + 1 + y² + 4 y + 4 = x² + y² + 2 x + 4 y + 5
BM² = ( x - 2 )² +( y - 1 )² = x² - 4 x + 4 + y² - 2 y + 1 = x² + y² - 4 x - 2 y + 5
•• Montrer que MA² + MB² = 2 x² + 2 y² - 2 x + 2y + 10.
MA² + MB² = x² + y² + 2 x + 4 y + 5 + x² + y² - 4 x - 2 y + 5
Conclusion : MA² + MB² = 2 x² + 2 y² - 2 x + 2y + 10.
•• Soit ( F ) l'ensemble des points M( x , y ) tels que MA² + MB² = 6.
Déterminer ( F ).
MA² + MB² = 6 s'écrit 2 x² + 2 y² - 2 x + 2y + 10 = 6
c-à-d x² + y² - x + y + 2 = 0
c-à-d ( x - 1 / 2 )² - ( 1 / 2 )² + ( y - ( - 1 / 2 ) )² - ( - 1 / 2 )² + 2 = 0
c-à-d ( x - 1 / 2 )² + ( y - ( - 1 / 2 ) )² + 1, 5 = 0
Le membre de gauche est stricteùent positif. L'égalité est donc impossible.
Conclusion: F = Ø
•• Soit L le milieu du segment [ AB ]. Trouver l'ensemble ( R ) des points M tels que
( vect( MA) + vect(M B ) ) . vect ( AB ) = 0.
L' isobarycentre de A et B est L
On a : vect( MA) + vect(M B ) = 2 vect( ML )
Ainsi l'égalité ( vect( MA) + vect(M B ) ) . vect ( AB ) = 0 devient
2 vect( ML ) . vect( AB ) = 0
c-à-d vect (ML ) . vect( AB) = 0
c-à-d les vecteurs vect' ML ) et vect( AB ) sont orthogonaux.
Ainsi l'ensemble ( R ) est la droite passant par le point L et orthogonale à [ AB ].
Conclusion : ( R ) est la médiatrice du segment [ AB ].
•• Soit K le point de la droite ( A B ) tel que : vect( AK ) . vect( AB ) = - 6 √2
••• Que vaut la distance AK? Placer le point K dans une figure.
Les vecteurs vect( AK ) et vect( AB ) sont colinéaires car A B K sont alignés.
comme vect( AK ) . vect( AB ) = - 6 √2
les vecteurs vect( AK ) et vect( AB ) sont de sens contraires.
vect( AK ) . vect( AB ) = - 6 √2 donne - AK × AB = - 6 √2 .
Or AB = 3 √2 .
Ainsi : AK = ( 6 √2 ) / ( 3 √2 ) = 2
Conclusion : AK = 2
On peut donc placer le point K .
••• Trouver l'ensemble ( W ) des points M du plan tels que : vect( AM) . vect( AB ) = - 6 √2 ?
vect( AM) . vect( AB ) = - 6 √2 s'écrit à l'aide de Chasles avec le point K :
( vect( AK ) + vect( KM ) . vect( AB ) = - 6 √2
c-à-d vect( AK ) . vect( AB ) + vect( KM ) . vect( AB ) = - 6 √2
c-à-d - 6 √2 + vect( KM ) . vect( AB ) = - 6 √2
c-à-d vect( KM ) . vect( AB ) = 0
Donc M décrit la droite passant par le point K et orthogonale au segment [ AB ] .
Conclusion: ( W ) es la droite passant par le point K et orthogonale au segment [ AB ]
Représenter tous les ensembles rencontrés .
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