INFO ACTIVITE 28 MARS 09

INFO ACTIVITE DU 28 MARS 2009

 Date:  28 Mars 09     Classe: 1S1         ATTENTION   TRAVAIL INDISPENSABLE

ACTIVITE A REALISER.   ( Faite en classe )

   •Dans le plan muni d'un repère orthonormal , on a les points A( - 1 ; - 2 ) et  B( 2 ; 1 ).

        •• Compléter:             vect( AB)   est de coordonnées:   (  2 - ( - 1 ) ;  1 - ( - 2 ) )   

                                                                                    c-à-d             (  3  ;  3 ) 

                                          AB =√ ( 3² + 3² ) =  √ 18 = 3 √ 2                AB = 3 √ 2

       •• Le vecteur   vect( AM ) a pour coordonnées :    x - ( - 1 )   ;  y - ( - 2 ) )   

                                                                                   c-à- d    ( x + 1 ; y + 2 )                                                                                    

            Le vecteur   vect( BM ) a pour coordonnées :   ( x - 2 ;  y - 1  ) 

      •• Ona :  AM² = ( x + 1 )² + ( y + 2 )²  =    x² + 2x + 1 + y² + 4 y + 4    =   x² + y² + 2 x + 4 y + 5

                    BM² =  ( x - 2 )²  +( y - 1 )² =  x² - 4 x + 4 + y² - 2 y + 1    =   x² + y²  - 4 x  - 2 y + 5 

      ••  Montrer que MA² + MB² = 2 x² + 2 y²  - 2 x + 2y + 10.

            MA² + MB²  =   x² + y² + 2 x + 4 y + 5   +   x² + y²  - 4 x  - 2 y + 5 

          Conclusion :    MA² + MB²  =  2 x² + 2 y²  - 2 x + 2y + 10.

     

      •• Soit ( F )  l'ensemble des points M( x , y ) tels que   MA² + MB² = 6. 

          Déterminer ( F ).

             MA² + MB² = 6    s'écrit       2 x² + 2 y²  - 2 x + 2y + 10 = 6  

                                          c-à-d          x² +  y²  -  x +  y + 2 = 0

                                         c-à-d      ( x - 1 / 2 )² - ( 1 / 2 )²  + ( y - ( - 1 / 2 )  )² - ( - 1 / 2 )²  + 2 = 0

                                       c-à-d    ( x - 1 / 2 )²  + ( y - ( - 1 / 2 )  )²   + 1, 5  = 0

                     Le membre de gauche est stricteùent positif. L'égalité est donc impossible.

                  Conclusion:     F = Ø

        •• Soit L le milieu du segment [ AB ]. Trouver l'ensemble ( R ) des points M tels que

          ( vect( MA) + vect(M B ) ) . vect ( AB ) = 0.

        L' isobarycentre de A et B est L 

           On a :      vect( MA) + vect(M B ) = 2 vect( ML ) 

             Ainsi l'égalité    ( vect( MA) + vect(M B ) ) . vect ( AB ) = 0   devient

                         2 vect( ML ) . vect( AB ) = 0

                        c-à-d               vect (ML ) . vect( AB)  = 0

                        c-à-d              les vecteurs   vect' ML ) et vect( AB ) sont orthogonaux.

          Ainsi l'ensemble ( R ) est la droite passant par le point L et orthogonale à [ AB ].

             Conclusion :      ( R ) est la médiatrice du segment [ AB ].

        •• Soit  K le point de la droite ( A B ) tel que :   vect( AK ) . vect( AB ) = - 6 √2

          •••   Que vaut la distance AK?   Placer le point K dans une figure.

                 Les vecteurs  vect( AK ) et vect( AB ) sont colinéaires car  A B K sont alignés.

                comme   vect( AK ) . vect( AB ) = - 6 √2   

                 les vecteurs  vect( AK ) et vect( AB ) sont de sens contraires.

                    vect( AK ) . vect( AB ) = - 6 √2    donne   -  AK × AB = - 6 √2  . 

                   Or  AB = 3 √2  .

                    Ainsi :     AK = ( 6  √2   ) /  ( 3 √2   )  = 2

                 Conclusion :  AK = 2

                  On peut donc placer le point K .                

  •••  Trouver l'ensemble ( W ) des points M  du plan tels que :  vect( AM) . vect( AB ) = - 6 √2 ?

                      vect( AM) . vect( AB ) = - 6 √2     s'écrit  à l'aide de Chasles avec le point K :

                      ( vect( AK )  + vect( KM ) . vect( AB )  =   - 6 √2  

          c-à-d        vect( AK ) . vect( AB )      +   vect( KM ) . vect( AB ) =   - 6 √2    

            c-à-d           - 6 √2       + vect( KM ) . vect( AB ) =   - 6 √2  

           c-à-d       vect( KM ) . vect( AB ) =  0

            Donc M décrit la droite passant par le point K et orthogonale au segment [ AB ] .

               Conclusion:   ( W ) es la droite passant par le point K et orthogonale au segment [ AB ]

                 Représenter tous les ensembles rencontrés .

      

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