INFO EX 3 SUJET COMMUN 1S

               INFO  EX 3          SUJET  COMMUN  1S          2 avril 2010         2 heures  

       EXERCICE 3       

                               Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .

                               Soit les points A( - 4 : 0)  et B( 2; 6 ).

                                M( x , y ) désigne un point quelconque du plan.

               1. Montrons que :      MA² + MB² = 2 x² + 2 y² + 4 x - 12 y + 56.

                             On a le vecteur  vect( MA ) de coordonnées ( - 4 - x  ; 0 - y ).

                             On a le vecteur  vect( MB ) de coordonnées  ( 2 - x ;  6 - y ).

                              Ainsi :  

                                            MA² = ( - 4 - x )² + ( - y )²  =  (  4  + x )² + ( - y )²  =  16 + x² +  8 x + y²

                                et         MB² =  ( 2 - x )²  + (  6 - y )²   =   x² - 4 x + 4  + 36 + y² - 12 y =  x² + y² - 4 x - 12 y + 40

                               En sommant membre à membre on obtient :   

                                           MA² + MB² = 2 x² + 2 y²  + 8 x - 4 x - 12 y + 16 + 40

                                 c-à-d      

                                  Conclusion :  MA² + MB² =  2 x² + 2 y²    + 4 x - 12 y  + 56   

               2. Indiquons quel est l'ensemble des points M du plan tels que  MA² + MB² = 40 .

                   Représentons ( E )                                                     

                   D'après le résultat précédent,    MA² + MB² = 40   s'écrit :

                                      2 x² + 2 y²  + 4 x - 12 y  + 56    = 40

                                           c-à-d     (  en divisant par 2 )

                                                         x² + y² + 2 x - 6 y + 8 = 0

                                         c-à-d       ( x + 1 )²   - 1²   + ( y -  3 )²   -   9  + 8 =  0

                                         c-à-d        ( x + 1 )²     + ( y -  3 )²    -   2 = 0
                                            
                                         c-à-d      ( x - ( - 1 ) )²     + ( y -  3  )²   = 2     
                                         
                                         c-à-d      ( x - ( - 1 ) )²     + ( y -  3  )²   =( √2
                                    
                                           On reconnait une équation de cercle.
                            Conclusion :   L'ensemble  cherche est le cercle de centre  C(  I( - 1 ; 3 )  ;  √2 )                         
                                   
                            
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