INFO EX 3 SUJET COMMUN 1S 2 avril 2010 2 heures
EXERCICE 3
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .
Soit les points A( - 4 : 0) et B( 2; 6 ).
M( x , y ) désigne un point quelconque du plan.
1. Montrons que : MA² + MB² = 2 x² + 2 y² + 4 x - 12 y + 56.
On a le vecteur vect( MA ) de coordonnées ( - 4 - x ; 0 - y ).
On a le vecteur vect( MB ) de coordonnées ( 2 - x ; 6 - y ).
Ainsi :
MA² = ( - 4 - x )² + ( - y )² = ( 4 + x )² + ( - y )² = 16 + x² + 8 x + y²
et MB² = ( 2 - x )² + ( 6 - y )² = x² - 4 x + 4 + 36 + y² - 12 y = x² + y² - 4 x - 12 y + 40
En sommant membre à membre on obtient :
MA² + MB² = 2 x² + 2 y² + 8 x - 4 x - 12 y + 16 + 40
c-à-d
Conclusion : MA² + MB² = 2 x² + 2 y² + 4 x - 12 y + 56
2. Indiquons quel est l'ensemble des points M du plan tels que MA² + MB² = 40 .
Représentons ( E )
D'après le résultat précédent, MA² + MB² = 40 s'écrit :
2 x² + 2 y² + 4 x - 12 y + 56 = 40
c-à-d ( en divisant par 2 )
x² + y² + 2 x - 6 y + 8 = 0
c-à-d ( x + 1 )² - 1² + ( y - 3 )² - 9 + 8 = 0