INFO DV n°8 5 mars 2014 TS1
EXERCICE 1
1. • Etudions les variations de la fonction f définie sur IR par f ( x ) = ex - x - 1.
f est définie et dérivable dans IR comme somme de telless fonctions.
Soit x dans IR.
On a : f ' ( x ) = ex - 1 = ex - e0
Dès lors :
f '( x ) = 0 ssi x = 0
f '( x ) < 0 ssi x < 0
f '( x ) > 0 ssi x > 0
Ainsi :
Conclusion:
f est strictement croissants sur l'intervalle [0 , + ∞ [.
f est strictement décroissants sur l'intervalle ] - ∞ , 0 ] .
• Montrons que 1 + x ≤ ex pour tout réel x .
Il suffit pour cela de montrer que : 0 ≤ ex - x - 1 pour tout x dans IR
c-à-d f( x ) ≥ 0 pour tout x dans IR
Or d'après le sens de variation de f , f admet en x = 0 un minimum sur IR.
Ce minimum est f ( 0 ).
f ( 0 ) = e0 - 0 - 1 = 0
Donc f ( x ) ≥ 0 pour tout x dans IR.
La condition suffisante est prouvée.
Conclusion : OUI. Le résultat st prouvé.
2. Montrons que :
Conclusion: Le résultat est prouvé.
3. Déduisons que pour tout entier naturel n ≥ 1
• Considérons l'inégalié 1 + x ≤ ex pour tout réel x .
Posons x = 1 / n avec l'entier n tel que n ≥ 1.
Il vient :
On a donc la première inégalité.
•
Posons X = 1 / ( n + 1 ) avec l'entier n tel que n ≥ 1
On a bien : X < 1
Il vient :
Conclusion:
Pour tout entier naturel n ≥ 1
4. Soit la suite ( un ) définie par :
Déduisons de la question 3. que pour tout entier naturel tel que n ≥ 1
0 ≤ e - un ≤ 3 / n
D'après la question précédente:
Conclusion : Le résultat est prouvé.
5. Déterminons la limite de la suite ( un ).
On a : lim ( 3 / n ) = 0
n → + ∞
et 0 ≤ e - un ≤ 3 / n pour tout entier naturel tel que n ≥ 1 .
Donc, d'après le th des gendarmes:
lim ( e - un ) = 0
n → + ∞
c-à-d
Conclusion:
lim ( un ) = e
n → + ∞
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EXERCICE 2
Soit la fonction définie sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ par :
1. Etudions les limite de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.
• En 0 à droite.
Conclusion : lim f = + ∞
0+
• En + ∞.
On a :
2. Précisons les asymptotes éventuelles.
• Comme lim f = + ∞ la courbe de f admet l'axe des ordonnées
0+
comme asymptote verticale à droite
• Il n'y a pas d'autre asymptote en + ∞ .
En effet:
On a un réel a = 0 mais on n'a pas de réel b tel que
lim( f( x ) - ( a x + b ) ) = 0
x → + ∞
Conclusion:
La seule asymptote pour la courbe de f est l'axe des ordonnées à droite.
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EXERCICE 3
Soit la suite ( un ) définie par :
1. Démontrons par récurrence que:
a. La suite ( un ) est croissante.
b. La suite ( un ) est majoré par 4.
Nous allons avec une seule récurrence sur IN montrer cela et aussi qu'elle est minorée par 1
à cause de la présence du 2 + ln( un ) qui doit être strictement positif.
Ainsi:
Conclusion : La suite est bien croissante et majorée par 4 sur IN.
2. Déduisons que la suite ( un ) est convergente.
D'après le cours comme la suite ( un ) est croissante et majorée
elle converge.
Soit L sa limite .
3. Réalisons un algorithme qui calcule u200.
Initialisation: N=0
U=1
Tant que N<200
U=2+ln(U)
N=N+1
Fin Tant que
Aficher U
Par exemple en Python2.7
On peut considérer le programme:
from random import*
from math import*
def ex():
N=0
u=1
while N<200:
u=2+log(u)
N=N+1
print u
Quand on le fait tourner on a:
>>> ex()
3.14619322062
>>>
Au départ 1 est u0
On obtient alors u1 à l'aide de u=2+log(u)
Ce n'est qu'après que N devient 0 + 1=1
Donc quand N = 199
on obtient u200 à l'aide de u=2+log(u)
puis après seulement N devient 200.
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