INFO DV n°8 TS1 5 mars 2014

                                 INFO               DV  n°8                     5  mars 2014              TS1

           EXERCICE 1

         1.  • Etudions les variations de la fonction f définie sur IR par  f ( x ) = ex - x - 1.

                                                Cbr

               f  est définie et dérivable dans IR comme somme de telless fonctions.

              Soit x dans IR.

               On a :     f ' ( x ) =   ex   - 1 =  ex  -  e0  

               Dès lors :

                   f '( x ) = 0   ssi   x = 0

                   f '( x ) < 0   ssi   x < 0

                   f '( x ) > 0   ssi   x > 0

          Ainsi :

                 Conclusion:

                 f  est strictement croissants sur l'intervalle  [0 , + ∞ [.

                f  est strictement décroissants sur l'intervalle  ] - ∞ , 0 ] .

       •  Montrons que 1 + x ≤ ex   pour tout réel x .

              Il suffit pour cela de montrer que :     0  ≤  ex  -  x  - 1  pour tout x dans IR

                                                                  c-à-d             f( x ) ≥ 0  pour tout x dans IR

                          Ttbl

                     Or d'après le sens de variation de f ,  f   admet en x = 0 un minimum sur IR.

                    Ce minimum est f ( 0 ).

                                        f ( 0 ) = e0 - 0 - 1 = 0

                   Donc   f ( x ) ≥ 0  pour tout x dans IR.

                   La condition suffisante est prouvée.

               Conclusion : OUI. Le résultat st prouvé.

    2. Montrons que :

                          Ing

                      Demt

              Conclusion:  Le résultat est prouvé.

       3. Déduisons que  pour tout entier naturel n ≥ 1

                        Forsel

               • Considérons  l'inégalié   1 + x ≤ ex   pour tout réel x .

                       Posons  x = 1 / n   avec  l'entier n tel que    n ≥ 1.

                         Il vient :  

                        Dap

                      On a donc la première inégalité.

              • 

                   Fao

                 Posons   X = 1 / ( n + 1 )       avec  l'entier n tel que   n ≥  1

                 On a bien :  X  < 1 

                     Il vient :  

              Per

                Conclusion:             

                          Pour tout entier naturel n ≥ 1

                        Forsel

    4. Soit la suite ( un ) définie par :

                          Duv

            Déduisons de la question 3. que  pour tout entier naturel tel que n ≥ 1 

                   0 ≤   e -  un  ≤   3  /  n

                       D'après la question précédente:

                    G7p

              Conclusion : Le résultat est prouvé.

      5. Déterminons la limite de la suite ( un ).

               On a :    lim ( 3 / n  ) = 0

                               n  + ∞

              et    0 ≤   e -  un  ≤   3  /  n     pour tout entier naturel tel que n ≥ 1 .

                 Donc,  d'après le th des gendarmes:                                                         

                      lim (  e - un )  = 0

                     n  + ∞

                c-à-d

                            Conclusion:                     

                               lim ( un  ) = e

                               n  + ∞

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        EXERCICE 2

                   Soit la fonction définie sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [  par :

                                                                   V245

                      Ccb

                1. Etudions les limite de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.

                           • En 0 à droite.

                                    Uk22

                   Conclusion :       lim f  =  + ∞  

                                                   0+  

                            • En  +  ∞.

                             On  a :

                      Gaz11

        2. Précisons les asymptotes éventuelles.

                •  Comme  lim f   =  +  ∞    la courbe de f admet l'axe des ordonnées

                                     0+

                  comme asymptote verticale à droite

                 • Il n'y a pas d'autre asymptote en + ∞ . 

                            En effet:    

                        Svoboda

                        On a un réel  a = 0  mais on n'a pas de réel b tel que 

                         lim( f( x ) - ( a x + b ) ) = 0

                         x   + ∞

                 Conclusion:

                   La seule asymptote pour la courbe de f est l'axe des ordonnées à droite.

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             EXERCICE 3

               Soit la suite ( un )    définie par :

                          Invas14 1

     1. Démontrons par récurrence que:

                    a. La suite ( un ) est croissante.

                     b. La suite ( un ) est  majoré par 4.

              Nous  allons avec une seule récurrence sur IN  montrer cela et aussi qu'elle est minorée par 1

              à cause de la présence du 2 + ln( un ) qui doit être strictement positif.

                            Ainsi:

                         Detst 1

                           Sion 2

                           Rahc1 1

                           Def45 1

                               Conclusion :  La suite est bien croissante et majorée par 4 sur  IN.                                           

      2. Déduisons que la suite  ( un ) est convergente.

                  D'après le cours comme la suite  ( un ) est croissante et majorée 

                   elle converge.

                  Soit L sa limite .

            3. Réalisons un algorithme qui calcule  u200.

                Initialisation:                  N=0

                                                           U=1

                                         Tant que  N<200

                                                          U=2+ln(U)

                                                            N=N+1

                                          Fin  Tant que

                                         Aficher U

 

           Par exemple en Python2.7

         On peut considérer le programme:

from random import*
from math import*
def ex():
       N=0
       u=1
      while N<200:
              u=2+log(u)
              N=N+1
      print u

                      Quand on le fait tourner on a:

>>> ex()
3.14619322062
>>>

                        Au départ  1 est u0  

                        On obtient alors u1    à l'aide de     u=2+log(u)

                        Ce n'est qu'après que N devient 0 + 1=1

                        Donc quand N = 199 

                       on obtient  u200  à l'aide de   u=2+log(u)

                       puis après seulement N devient 200.

           

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