DV n° 2 1S1 24/10/09

   SUJET    DV n° 2       1S1             24 /10/09       

      EXERCICE n°109          Livre Didier   

                   [ AB ] est un segment de longueur 4 cm.

                   Pour chaque point M du segment  [AB] , on construit la figure ci-dessous

                   dans laquelle APM et BQM sont des triangles rectangles et isocèles .

                   On considère que si le point M est en A , alors  le point P l'est aussi et  que

                   si M est en B , alors le point Q l'est aussi.

                  Figure 1:

                                                                

                 Figure 2:    

                                                       

 

                      Une longueur L étant donnée ( L en cm ) , on cherche si l'on peut placer M

                      de telle sorte que PQ = L .

                      On note AM = x     (  0  ≤  x  ≤  4 ).

                     1.a. Démontrer que le triangle PMQ est un triangle rectangle en M.

                        b. En déduire que :    PQ² = x² - 4 x + 8 .

                     2.a. Déterminer x si L =  2,2.

                            Dessiner  les figures correspondantes.

                        b. Peut-on trouver x si L =1,5 ? si L = 3  ? si L = 2  ?

                     3.a Dresser le tableau de variation de la fonction qui à x associe PQ²

                           sur l'intervalle [ 0 ; 4 ].

                        b. En déduire un encadrement de PQ² puis de PQ .

                        c. Montrer que si L n'est pas dans l'intervalle [ 2 ; 2√2 ] alors il n'existe pas

                            de point M tel que PQ = L.

                       4. Soit I le point d'intersection des droites ( AP) et ( BQ ) .

                            Démontrer que :

                           a. Le point I ne dépend pas de de la position du point M.

                            b. IM = L .

                       5. a. En déduire une construction géométrique d'un point M à la règle et au compas

                               et montrer qu'elle est possible pour tout L dans l'intervalle  [ 2 ; 2√2 ].

                           b. Effectuer cette construction pour L = 2,2 et L = 2 sur deux nouvelles figures.

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                 EXERCICE 71         Livre Didier

                      Soit ABCD un rectangle tel que AB = 3 cm et BC = 5 cm.

                     On place sur les côtés les points M , N , P , Q comme sur la figure avec:

                     On note x  la distance AM en cm  et S( x ) l'aire du quadrilatère MNPQ en cm².

                     Figure:

                                     

 

                      1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction S ?

                      2. Exprimer S( x ) en fonction de x.

                      3. Peut-on placer M de telle sorte que MNPQ ait pour aire 9 cm² ?

                         a. Dresser le tableau de variation de S.

                         b. Quelle est l'aire maximale de MNPQ ?

                      4. a . Montrer que l'aire T du trapèze MBCP est constante.

                          b. Pour quelles valeurs de x l'aire de MNPQ est-elle inférieure à

                               celle du trapèze?

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