INFO TEST ALG.BOOLE 12/11/2010

               INFO TEST                 ALGEBRE DE BOOLE          BTS1 B                        Vendredi 12 novembre  2010

                EXERCICE 1 

           1. On considère l'expression E des variables booléennes a , b , c définie par:

                              

               a . Représenter E en utilisant un tableau de Karnaugh, en déduire la simplification de l'expression E.

                b. Montrer par un calcul direct que :     

             2 . On considère l'opérateur nand , noté ↑ , et défini par :      

                    a. Calculer       puis  

                     b. Déduire de ce qui précède l'écriture de l'expression     en utilisant uniquement l'opérateur  ↑ .

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             Réponse:

       1. a Tableau de Karnaugh de E.      

a      b c              00            01             11             10
   0              1               1          1          
   1              1               1         1       

             Simplifions E .                   E =    c     +   

           Il apparaît que :                  

          b . On a :  

             Factorisons d'abord a dans les deux termes du milieu puis

             factorisons      dans le premier et le dernier terme.

             Il vient :    

     Conclusion:        

           2. a . On a : 

                         Conclusion:  

                   Conclusion:       

              b. On déduit :

                Conclusion:       

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          EXERCICE 2

              1. On considère un ensemble E muni d'une structure d'algèbre de Boole.

                 a. Soit l'expression booléenne :      

                    où  a , b , c désignent trois éléments de E.

                    Simplifier A à l'aide d'un tableau de Karnaugh.   

                  b. Montrer par un calcul direct que  :

                             ou encore      A = a. c + b. c

                2.  Un immeuble  comprend six logements dont les surfaces

                     figurent dans le tableau:                    

numéro du logement        1         2         3          4        5         6
superficie , en m²      55      105      112      228     247      253

                      Les logements 1 et 3 appartiennent à Monsieur A, les logements 2 et 4

                      appartiennent  Madame B, les logements 5 et 6 appartiennent à Monsieur C.

                     Chacun détient à l'assemblée des copropriétaires un nombre de voix égal à

                      la superficie totale de ses logements, exprimée en m² .

                      Ainsi Monsieur A dispose de : 55 + 112 = 167 voix.

                      Une proposition concernant le remplacement de la chaudière est mise

                     au vote à l'assemblée.

                      Pour être adoptée, elle doit recueillir la majorité des voix, soit 501 voix.

                      Si A vote "pour ", son vote est désigné par: a.

                       S'il vote contre ou s'il s'abstient , son vote est désigné par : 

                          .

                        De même pour B et C.

                        a. Quelle situation de vote traduit      

                        b. Recopier et compléter le tableau pour les huit situations  de votes possibles:             

                                               

                 c . Ecrire l'expression boléenne qui exprime la condition pour que la proposition soit adoptée.

                  d. En utilisant les résultats de la première question 1. , écrire cette condition sous forme simplifiée

                       , puis la traduire par une phrase explicative.

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     Réponse:     

               1. a.Simplifions A à l'aide d'un tableau de Karnaugh.   

                    On a :            

                    Donc:                  

a      b c              00            01             11             10
   0                              1          
   1                      1                1       

                                  Il apparaît que:       A = a. c + b. c

                        Conclusion :   A = a . c + b . c

                    b.  Montrons par un calcul direct  que :  

                                      Ona :     

 

                                                                  

                                Puis:

                                                            

           2. a. Traduisons:  

                  Monsieur  A   vote   NON

          et     Madame  B    vote   NON

          et       Monsieur  C   vote    OUI

                b. Recopions et complétons le tableau:

                   Monsieur A a 167 voix.  ( 55 + 112 = 167  )

                   Madame B a 333 voix. ( 105 + 228  = 333  )

                   Monsieur C a 500 voix.  ( 247 + 253 = 500 )

                   Ainsi:

                

           c. L'expression booléenne qui traduit l'adoption est donc:

                Conclusion:         

            d. Mettons la condition sous une forme simplifiée et traduisons la.

                     

               Conclusion:  La proposition est adoptée quand Monsieur C et Madame B votent OUI

                                 ou quand Monsieur C et Monsieur A votent OUI.

 

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