INFO EX PROBA BAC

           EXERCICE   SUR LES PROBABILITES          TS2   JUIN 2012

             EXERCICE BAC  ( 5 POINTS )

                                              urne-ex-bac-2.jpg

              Une urne contient  10 boules blanches et n boules rouges ,

              n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2.

             On fait tirer à un joueur des boules de l'urne.

             A chaque tirage, toute les boules ont la même probabilité d'être tirées.

             Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule

             rouge tirée, il perd 3 euros.

             On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique

            obtenu par le joueur.

             Les trois questions sont indépendantes.

            1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne.

                a. Démontrer que :    P( X = - 1) = 20 n / [( n + 10 ) ( n + 9 )]

                b. Calculer, en fonction de n , la probabilité correspondant aux

                     deux autres valeurs prises par X.

               c. Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire X vaut:

                   E( X ) = ( -  6 n2 - 14 n + 360  ) / [( n + 10 ) ( n + 9 )]

              d. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles l'espérance mathémathique 

                   est strictrement positive.

              2. Le joueur tire 20 fois successivement avec remise une boule de l'urne .

                 Les tirages sont indépendants.

                 Déterminer la valeur minimale de l'entier n afin que la probabilité d'obtenir 

                au moins une boule rouge au cours de ces 20 tirages soit strictement supérieure

                à 0,999.

              3. On suppose que n = 1000 . L’urne contient donc 10 boules blanches

                  et 1000 boules rouges.

                  Le joueur ne sait pas que le jeu lui est complètement défavorable et décide

                  d’effectuer plusieurs tirages sans remise jusqu’à obtenir une boule blanche.

                  Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges

                  on admet que l’on peut modéliser le nombre de tirages nécessaires pour

                  obtenir une boule blanche par la variable aléatoire Z suivant la loi :

                                     Pour tout k dans IN , P( Z  ≤ k ) =∫0,01 e- 0,01x dx

                 On répondra donc aux questions à l’aide de ce modèle.

                a. Calculer la probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus

                     50 boules pour avoir une boule blanche, soit P( Z  ≤  50 ).

                 b.  Calculer la probabilité conditionnelle de l’événement : «  Le joueur a

                     tiré au maximum 60 boules pour tirer une boule blanche » sachant

                     l’événement «  Le joueur a tiré plus de 50 boules pour tirer une boule blanche »

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          Réponse:

          1.  a.  • Les valeurs prises par X sont:     - 6   ;   - 1  ;   4 

                     En effet :

                  • •  Pour  B R     le gain algébrique est :       2 - 3  = - 1

                  • •  Pour R B    le gain algébrique  est   :    - 3 + 2 = - 1

                  • •  Pour  B B    le gain algébrique  est :       2 + 2 = 4

                  • •  Pour R R  le gain algébrique est  :       - 3 - 3 = - 6 

                   • Nature des résultats possibles du jeu.

                 Quand le joueur a joué il obtient une 2- liste de deux boules distictes 

                 de l'urne. ( c'est-àdire une partie ordonnée de deux boules de l'urne ou encore

                 un couple de deux boules distinctes de l'urne ou encore un arrangement de deux boules

                 prises dans l'urne ) .

                 L'univers des possibles  Ω est donc l'ensembles des 2- liste de deux boules distinctes de l'urne.

                 Card( Ω ) = ( 10 + n ) × ( 9 + n )   

                  En effet:  Pour la première boule obtenue il y a  10 + n  boules possibles.

                             Comme il n'y a pas remise pour la seconde boule tirée il n'y a plus que 

                             9 + n boules possibles.

                   On est dans une situation d'équiprobabilité.

                  Donc:      P( X = - 1 ) = card( X = - 1 ) / Card( Ω )

        • Calcul de Card ( X = - 1 ).

            Card ( X = - 1 ) =  10 × n + n × 10 = 20 n

             En effet:

                   Pour avoir  B R    il y a 10 possibilités pour la boule blanche

                                                     et  n possibilités pour la boule rouge.

                  Pour avoir  R B     il y a le même nombre de possibilités.

         Conclusion:   On a bien    P( X = - 1) = 20 n / [( n + 10 ) ( n + 9 )]

          b. Donnons P( X = - 6 )  et  P( X = 4 ).

              Card( X = - 6 ) = n ( n -1 )

                En effet : Pour la première boule rouge tirée il y a n possibilités et 

                              pour la seconde boule rouge tirée il y a plus  n - 1 possibilités.

              On a:       P( X = - 6 ) = Card( X = - 6 ) / Card( Ω )

           Conclusion:   On a     P( X = - 6) =  n( n - 1 ) / [( n + 10 ) ( n + 9 )]

                 Card(  X = 4 ) = 10 × 9 = 90

                 En effet : 

                            Pour la première boule blanche tirée  il y a 10 possibilités et 

                              pour la seconde boule blanche tirée  il y a plus  9 possibilités.

                  On a :     P( X = 4 ) = Card( X = 4 ) / Card( Ω )

             Conclusion:   On a     P( X = 4 ) =  90 / [( n + 10 ) ( n + 9 )]

           c. Calcul de l'espérance de X.

              La loi de X est le tableau :

x

-6 

- 1 

4

 

P( X = x ) 

n ( n - 1 ) /[( n + 10 ) ( n + 9 )]

20 n /[( n + 10 ) ( n + 9 )]

90 / [( n + 10 ) ( n + 9 )]

1

     E( X ) = - 6 × n( n - 1 ) / [( n + 10 ) ( n + 9 )]  - 1 × 20 n /[( n + 10 ) ( n + 9 )] + 4  × 90 / [( n + 10 ) ( n + 9 )]

   c-à-d 

    E(X ) = (- 6 n( n - 1 ) - 20 n + 360 ) /[( n + 10 ) ( n + 9 )]  

   c-à-d

  E(X ) =  ( - 6 n2   + 6 n - 20 n  + 360 ) / [( n + 10 ) ( n + 9 )]  

 Conclusion :   E(X ) =  ( - 6 n2   -  14  n  + 360 ) / [( n + 10 ) ( n + 9 )]  

           d. Recherche des entiers  n tels que n ≥ 2 et E( X ) >0 .

                   On a :  ( n + 10 ) ( n + 9 ) > 0   car n  ≥ 2

                    Le signe de E( X )  est donc celui du numérateur    - 6 n2   - 14 n  + 360

                     - 6 n2   - 14 n   + 360 = 2 ( - 3n2  - 7 n   + 180 )

                    Le signe de E(X ) est celui de - 3n2   - 7 n   + 180 .

                        Considérons  - 3 x²   - 7 x   + 180

                        Δ = b² -  4 a c   

                      c-à-d

                        Δ = ( - 7 )² - 4 ×( - 3 ) × 180   = 2209 = 47²  

                               Δ > 0

                            Les racines dans IR sont :

        ( - b -√Δ ) / ( 2 a ) = ( 7 - 47 ) / - 6 = -  40 / - 6 =  20 / 3  (  environ 6,66 )                                 

        ( - b + √Δ ) / ( 2 a ) = ( 7 + 47 ) / - 6 = 54 / - 6 = - 9  

              D'après la règle des signes d'un trinome du second degré  - 3 x²   - 7 x   + 180

              comme nous voulons qu'il soit du signe de - a   nous devons prendre x

             entre les racines .

             Pour n considérons donc  les conditions :  

                  n entier naturel 

                 n ≥ 2     

                 - 9 < n < 6,66

             Conclusion : Les entiers n qui conviennent sont : 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6

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          2. Comme on répète 20 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli 

                 dont les deux issues sont " boule rouge " et " non boule rouge "

                avec p = n / ( 10 + n) , la variable aléatoire qui indique le nombre de boules rouges

               suit une loi binomiale de type B( 20 ; 10 / ( 10 + n ) ).

              Calculons P( X ≥ 1 ).

                  On a : P( X ≥ 1 ) = 1- P( X = 0 )

                      q = 1 - p = 1 - n / ( 10 + n ) = 10 / ( 10 + n )

                  Ainsi :   P( X = 0 ) = C20 0   p0 ( 1 - p )20   =  [ 10/( 10 + n )]20

                   P( X ≥ 1 ) = 1 -  [ 10/( 10 + n )]20

                 Imposons :    P( X ≥1 ) > 0,999

                   c-à-d     1 -  [ 10 / ( 10 + n ) ]20  > 0,999          ( 1 ) 

                  Cherchons le plus petit entier n qui le vérifie.

                      ( 1 )  s' écrit :

                           1 - 0,999 > [ 10 / ( 10 + n ) ]20    

              c-à-d          0,001 > [ 10 / ( 10 + n ) ]20  

              c-à-d             0,0011/ 20   > 10 /  ( 10 + n )

              c-à-d            0,7079  > 10 / ( 10 + n )

             c-à-d             10 + n > 10 / 0,7079

              c-à-d            n >  (10 / 0,7079) - 10 

               Mais                 (10 / 0,7079) - 10 ≈  4,12

                   5 est donc le plus petit entier naturel qui convient.

             Conclusion : n = 5 

             fin1-ex-bac.jpg

             fin-ex-bac.jpg

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