INFO LISTE 1 EX 1 . 2. 3 . 4

INFO     EX 1.2.3.4    LISTE 1 D'EX SUR LES LIMITES    1S     5 Janvier 2009

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  EX. 1   Soit la fonction f : x → ( 2 x² + 3 x - 1 ) / ( x + 2  ) 

             Trouver la limite de f  en  + ∞.

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 REP.            f est définie dans ] - ∞ , - 2 [ U ] - 2 , + ∞[.

                     + ∞ est une extrémité d'un intervalle de définition de f.

                     On peut faire la recherche.

               •  f est une fonction rationnelle.

                   Soit x > 0 .

                 Le quotient des termes de plus haut degré est :

                     ( 2 x² ) /  x  

                   Le quotient simplifié des termes de plus haut degré est :

                    2 x

                 Or     lim 2 x  = + ∞

                         x  → +  ∞

             Ainsi :        lim ( 2 x² + 3 x - 1 ) / ( x + 2  ) = + ∞   

                              x  → +  ∞

          Conclusion:    lim f( x ) = + ∞

                                    x  → +  ∞

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EX. 2    Soit la fonction f : x → ( 4 x + 3 ) / ( x - 1 )

             Trouver la limite de f en + ∞.

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  REP          f est une fonction rationnelle  définie dans IR - { 1 }.

 

                  + ∞ est une extrémité d'un intervalle de définition de f .

                   On peut faire la recherche.

              Soit x > 1.

           Le quotient des termes de plus haut degré est  ( 4 x ) / x.

           Le quotient simplifié des termes de plus haut degré est   4.

              lim  4  = 4

             x → + ∞  

                Donc 

                 lim ( 4 x + 3 ) / ( x - 1 ))    = 4

                x  → +  ∞

 

          Conclusion :    lim f( x )    = 4

                               x  → +  ∞

           Sur le plan graphique cela traduit que la droite horizontale

             d'équation y = 4 est une asymptote à la courbe de f en  +  ∞

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  EX.3    Soit la fonction f : x → x² - 5x + 3  

 

             Trouver la limite de f en + ∞.

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 REP     f est une fonction polynôme définie dans IR.

 

            +  ∞ est bien une extrémité de l'intervalle de définition .

             On peut faire la recherche.

              Le terme de plus haut degré est  x² .

            On a  :    lim  x²  = +  ∞

                          x  → +  ∞

                    Donc   :

                       lim (  x²   - 5 x + 3  )  = +  ∞

                        x  → +  ∞

            Conclusion :         lim f( x ) = +  ∞

                                       x  → +  ∞

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   EX.4     Soit la fonction f : x →  ( - 10 x² + 3 x - 1 ) / ( 2 x² + x + 1 ) 

             Trouver la limite de f en + ∞.

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REP          f est une fonction rationnelle  définie dans IR - { 1 }.

               + ∞ est une extrémité d'un intervalle de définition de f .

                   On peut faire la recherche.

              Soit x > 1.

           Le quotient des termes de plus haut degré est  ( - 10 x² )   / ( 2 x ² ) 

           Le quotient simplifié des termes de plus haut degré est  - 5 . 

           lim  - 5   = - 5

             x → + ∞  

                Donc 

              lim  ( - 10 x² + 3 x - 1 ) / ( 2 x² + x + 1 )  = - 5

             x → + ∞  

                    Conclusion :   lim f( x ) = - 5

                                     x  → +  ∞

 

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