INFO DS n° 1 TS1 4/10/14

INFO DS n°1 4 octobre 2014 2 h

EXERCICE 1

Soit a, b , c trois nombres réels.

On considère la suite ( w_n ) définie sur IN de terme général

w_n= a n² + b n + c pour tout n dans IN

1. Déterminer les trois nombres réels a,b,c sachant

que w₀ = 0 , w₁ = 2 et w₂ = 6.

On dispose du système:

a × 0² + b × 0 + c = 0

a × 1² + b × 1 + c = 2

a × 2² + b × 2 + c = 6

c-à-d

c = 0

a + b = 2

4 a + 2 b = 6

c-à-d

c = 0 L1

a + b = 2 L2

2 a + b = 3 L3

L3 ← L3 - L2

On obtient le système équivalent:

c = 0

b = 2 - a

a = 1

c-à-d

c = 0

b = 2 - 1 = 1

a = 1

Conclusion: a = 1 b = 1 c = 0

w_n = n² + n pour tout n dans IN

2. Trouver lim w_n

n → + ∞

On sait que lim ( n² + n ) = lim n² = + ∞

n → + ∞ n → + ∞

Donc :

Conclusion: lim w_n = + ∞

n → + ∞

3.Déterminer le sens de variation de la suite ( w_n ).

La fonction polynône f : x → x² + x est définie et dérivable dans IR.

f ' : x → 2 x + 1

Donc sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ f ' ≥ 0

f est croissante sur les réels positifs.

La restriction de f à IN l'est également.

Or w_n= f( n ) pour tout n dans IN.

Donc:

Conclusion : La suite ( w_n ) est croissante sur IN.

4. On définit pour tout entier naturel n, la suite ( t_n ) par :

t_n = w_{n + 1}- w_n

a. Exprimer t_n en fonction de n.

Soit n dans IN.

On a :

t_n = w_{n + 1} - w_n= ( n + 1 )² + n + 1 - ( n² + n)

Donc

t_n = n² + 2 n + 1 + n + 1 - n² - n

Conclusion: t_n = 2 n + 2 pour tout n dans IN

b.Quelle est la nature de la suite ( t_n ) ?

Soit n dans IN quelconque.

On a :

t_{n + 1} = 2 ( n + 1 ) + 2 = 2 n + 2 + 2

c-à-d t_{n + 1}= t_n + 2

et t₀ = 2 × 0 + 2 = 2

Conclusion:

La suite ( t_n ) est arithmétique de raison 2 et de premier terme 2.

c. On définit, pour tout entier naturel n ,

Montrer que S_n= ( n + 1 ) ( n + 2 )

Soit n dans IN qulconque.

S_n est la somme des n + 1 premiers termes de la suite

arithmétique ( t_n).

Donc d'après une formule de cours on a :

S_n=( ( t₀ + t_n ) / 2 ) × ( n + 1 )

c-à-d

S_n = ( ( 2 + 2 n + 2 ) / 2 ) × ( n + 1 ) = ( ( 2 n + 4 ) / 2 ) ×( n + 1 )

c-à-d

Conclusion: S = ( n + 2) ( n + 1 ) pour tout n dans IN

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EXERCICE 2 Extrait d’exercice de bac S 2014

On considère la suite ( u_n ) définie par :

u₀ = 0

u_n+1= 3 u_n - 2 n + 3 pour tout n dans IN

1. Calculer u₁et u₂.

u₁ = u_{0 + 1} = 3 u₀ - 2 × 0 + 3 = 3 × 0 + 3 = 3

u₂= u₁₊₁ = 3 u₁ - 2 × 1 + 3 = 3 × 3 + 1 = 10

Conclusion: u₁ = 3 u₂ = 10

2. Quelle conjecture sur le sens de variation de la suite ( u_n ) pouvez-vous faire ?

On voit que : u₀ ≤ u₁ ≤ u₂

Conclusion: On peut conjecturer que la suite est croissante sur IN

3. Montrer par récurrence sur IN que :

u_n ≥ n pour tout n dans IN.

• n = 0

u₀= 0 On a bien u₀ ≥ 0

c'est vrai pour n = 0

• Soit n dans IN quelconque.

Montrons que si u_n ≥ n alors u_{n + 1} ≥ n + 1

Considérons u_n ≥ n

c-à-d 3 u_n≥ 3 n

c-à-d : 3 u_n - 2 n + 3 ≥ 3 n - 2 n + 3

Donc u_{n + 1}≥ n + 3 ≥ n + 1

On a u_{n + 1} ≥ n + 1

Conclusion: l'inégalité est prouvée sur IN

4. En déduire ( sans récurrence ) le sens de variation de la

suite ( u_n ) sur IN .

Soit n dans IN

u_{n + 1} = 3 u_n - 2 n + 3

c-à-d

u_{n + 1} - u_n = 2 u_n - 2 n + 3

D'autre part:

u_n ≥ n

d'où 2 u_n≥ 2 n

Ainsi 2 u_n - 2n + 3 ≥ 2 n - 2 n + 3 ≥ 3 ≥ 0

c-à-d

u_{n + 1} - u_n ≥ 0 pour tout n dans IN

Conclusion : La suite ( u_n ) est croissante sur IN.

5. Soit la suite ( v_n ) définie sur IN par :

v_n = u_n - n + 1

a.Etablir que la suite ( v_n ) est géométrique.

Soit n dans IN.

On a : v_{n + 1} = u_{n + 1} - ( n + 1 ) + 1

c-à-d

v_{n + 1} = 3 u_n- 2 n + 3 - ( n + 1) + 1

c-à-d

v_{n + 1}= 3 u_n - 3 n + 3

c-à-d

v_{n + 1} = 3 ( u_n- n + 1)

c-à-d

v_{n + 1}= 3 v_npour tout n dans IN

Conclusion: La suite ( v_n ) est bien géométrique de raison 3.

b.Donner son terme général v_n en fonction de n dansIN.

On a: v₀ = u₀ - 0 + 1 = 0 + 1 = 1

Ainsi :

Conclusion: v_n = 1 × 3ⁿ pour tout n dans IN

c.En déduire u_n en fonction de n dans IN.

Comme u_n= v_n+ n - 1 pour tout n dans IN

On a :

Conclusion : u_n = 3ⁿ + n - 1 pour tout n dans IN

d.Déterminer lim u_n

n → + ∞

On a vu que u_n ≥ n pour tout n dans IN

Or lim n = +∞

n → + ∞

Donc d'après un résultat de cours :

Conclusion: lim u_n= + ∞

n → + ∞

6. Soit p un entier naturel non nul fixé.

( Dans cette question aucune récurrence n’est demandée )

a. Montrer que u_{3 p} ≥ 10 ^p .

Soit p dans IN*.

On a :

u_{3 p}= 3^{3 p}+ 3p - 1= ( 3³)^p + 3 p - 1 = 27^p + 3 p - 1

3 p - 1 ≥ 0 car p entier non nul

et comme 27 ≥ 10 on a 27^p ≥ 10^p

Donc u_{3 p}≥ 10^p

Conclusion: on a bien l'inégalité

b. Montrer que pour tout entier naturel n , si n ≥ 3 p alors u_n ≥ 10^p.

Soit p dans IN*.

On a vu que la suite ( u_n) était croissante sur IN

Donc pour tout entier naturel n, si n ≥ 3 p alors u_n ≥ u_3p

Mais on vient de voir que u_{3 p} ≥ 10^p

Donc: pour tout entier naturel n , si n ≥ 3 p alors u_n≥10^p

Conclusion : le résultat est avéré.

c. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier naturel n₀

tel que pour tout entier naturel n, si n ≥ n₀ alors u_n ≥ 10^p ?

Deux raisons possibles.

• On peut dire d'après ce qui précède que n₀ = 3 p convient.

•On peut aussi dire que l'on a déjà montré que la suite ( u_n ) est de limite + ∞.

Donc:

Dès que l'on considère 10^p où p est dans IN* il existe n₀dans IN tel que,

pour tout n dans IN , si n ≥ n₀ alors u_n ≥ 10^p

d.Dans le cas où p = 3 déterminer à l’aide de la table de la calculatrice

le plus petit entier n₀ convenable.

Comme p = 3 on a 10³ = 1000

Nous voulons avoir u_n ≥ 1000

n	0	1	2	3	4	5	6	7
u_n	0	3	10	29	84	247	734	2193

On obtient pour premier entier convenable:

n₀ = 7

7. On considère l’algorithme suivant :

Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N.

Entrée

Saisir le nombre entier naturel non nul N

Traitement

Affecter à U la valeur 0

Pour k allant de 0 à N-1

Affecter à U la valeur 3U-2k+3

Fin Pour

Sortie

Afficher U

Soit N = 3

Que donne alors cet algorithme ?

pour k = 0 U = 3 × 0 - 2 × 0 + 3 = 3

pour k = 1 U = 3 × 3 - 2 × 1 + 3= 10

pour k = 2 U = 3 × 10 - 2 × 2 + 3= 29

Conclusion : Il affiche 29

8. Donner un algorithme qui pour un entier p non nul donné

affiche en sortie la valeur du plus petit entier n₀ tel que

pour tout entier n , si n ≥ n₀ alors u_n ≥ 10^p.

On peut considérer:

Entrée:

Saisir un entier p non nul

Traitement

U prend la valeur 0

n prend la valeur 0

Tant que U < 10^p

U prend la valeur 3 U - 2n + 3

n prend la valeur n + 1

Fin Tant Que

Sortie

Afficher n

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