INFO 0 EX. BARYCENTRE 2

INFO EX BARYCENTRE 2


EX . 2    Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ).

                     Soit les points   A ( - 2 ; 1 ) , B( 3 ; 1) , C( 0 ; 4 ).

                     Soit H le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( C , 2 ) . 

                   1. Donner les coordonnées du point H.

                   2. Soit G le barycentre  des points pondérés   ( A , 1 ) , ( B , 3 ) , ( C , 2 ).   

                    a. Donner les coordonnées du pont G.

                    b.  On rappelle que la distance du point A au point B est :

                              AB =√( ( xB  - xA  )² + ( yB  - yA )²  ).

                        Calculer AB.

                    c. Réduire  le vecteur   vect( MA ) + 3 vect( MB ) +2 vect( MC) 

                       puis donner sa norme.

                   3. Déterminer l'ensemble ( U )  des points M du plan tels que les vecteurs suivants

                      soient de même norme:            6 vect( AB)

                                                                       vect( MA ) + 3 vect( MB ) + 2 vect( MC ).

 

              

 

    REP.            1. Le barycentre H des points pondérés ( A , 1 ) et ( C , 2 ) existe car 1 + 2 ≠ 0

                            On a  H( - 2 / 3 ;  3 ). En effet:

                                             x =  ( 1×( -  2 ) + 2  ×( 0 ) ) / ( 1 + 2 ) = - 2 / 3

                                              yG = ( 1×( 1 ) + 2  ×( 4 ) ) / ( 1 + 2 ) = 9 / 3 = 3                 

                      

On a :     H( - 2 / 3 ;  3 ).

                     2. a.  Le point G barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 3 ) , ( C , 2 )

                              existe car 1 + 3 + 2  ≠ 0.

                                          x =  ( 1×( -  2 ) +3 ( 3 ) + 2  ×( 0 ) ) / ( 1 + 3 + 2 ) = 7 / 6 

                                          yG = ( 1×( 1 ) +3 ( 1 ) +  2  ×( 4 ) ) / ( 1 + 3+  2 ) = 12 / 6  = 2                                           

On a :     G(  7 / 6 ;  2 ).

                           b.  Le  vect( AB ) est de coordonnées  (  3 + 2  ; 1 - 1  )   c-à-d ( 5 ; 0 ). 

On a :     AB = 5

                            c. D'après la propriété fondamentale

                         vect( MA ) + 3 vect( MB) + 2 vect( MC ) = ( 1 + 3 + 2 ) vect( MG ) 

                          Donc:

vect( MA ) + 3 vect( MB) + 2 vect( MC ) = ( 1 + 3 + 2 ) vect( MG )                 

                                 Sa norme est donc  6 MG.

                  3. L'ensemble U est l'ensemble des points M tels que :  6 MG = 6 AB

                                                                        c-à-d tels que :          6 MG = 6 × 5

                                                                        c-à-d   tels que :        MG = 5

                               Donc 

U est le cercle de centre G et de rayon 5.