FEUILLE D'EXERCICES sur les graphes probabilistes

                       INFO    FEUILLE D'EXERCICES  sur les graphes probabilistes

       EXERCICE 1

         Alors qu'une entreprise A possédait le monopole de l'accès à internet des particuliers,

         une entreprise concurrente B est autorisée à s'implanter.

        Lors de l'ouverture au public en 2010 des services du fournisseur d'accès B,

        l'entreprise A possédait 90% du marché et l'entreprise B le reste du marché.

        Dans cet exercice, on suppose que chaque année , chaque internaute

       est client d'une seule entreprise A ou B .

       On observe à partir de 2010 que chaque année 15% des clients de l'entreprise A

       deviennent des clients de l'entreprise B et que 10% des clients de

       l'entreprise B deviennent des clients de l'entreprise A.

      Pour tout entier naturel n , on note a_n   la probabilité qu'un internaute de ce pays,

       choisi au hasard, ait son accès à internet en 2010 + n fourni par l'entreprise A et b _n la

       probabilité que son fournisseur d'accès à internet en 2010 + n  soit l'entreprise B.

     On note  P_n = ( a_n   b_n )  la matrice corespondant à l'état probabiliste en 2010 + n et

     on a ainsi a₀ = 0,9 et b₀ = 0,1.    

   1. Représenter la situation par un  un graphe probabiliste.

              REPONSE:

              On a :

.                    

                 2. a. Préciser la matrice de transition  M de ce graphe.

                   REPONSE:

                   b. Montrer qu'en 2013, l'état probabiliste est environ ( 0,61     0,39 ).

                      REPONSE:

                                      2013 = 2010 + n  donne n = 3

                     Nous cherchons donc P₃   .

                    On a :                 P₃ = P₀ x M³    

                 c-à-d  

                  Conclusion:

                      P₃  = ( 0,61   0,39  )

              c.  Déterminer l'état stable P = ( a   b ) de la répartition des clients

                     des entreprises  A et B Interpréter.

                    Déjà on peut dire, même si ce n'est pas demandé, qu' Il y a un état stable

                               car la matrice de transition M est d'ordre 2 et sans zéro.

                    La méthode ici est de résoudre P = P x M    avec P = ( a   b )

                   où  0 ≤ a  ≤ 1  et  0 ≤ b  ≤ 1   et a + b = 1.

                  Considérons:

                c-à-d 

                 c-à-d

                 c-à-d

                c-à-d  comme on voit que les deux premières équations sont les mêmes.

              c-à-d en multipliant par 20 les deux membres de la première équation:

                c-à-d 

                  c-à-d

                  Conclusion :     a = 0,4  et   b = 0,6

               Cela veut dire que dans un grand nombre d'années il y aura une répartition stable où

                l'entreprise A aura 40% des clients et l'entreprise B aura 60 % des clients.

       Remarque:  ce n'est pas la seule méthode pour trouver l'état stable.

             On peut dans un premier temps considérer l'arbre suivant :

            a_n  est   est le pourcentage de clients de l'entreprise A en   2010 + n.

            b_n  est   est le pourcentage de clients de l'entreprise B en   2010 + n.

           a_{n + 1}   est le pourcentage de clients de l'entreprise A en   2010 + n+ 1.

             b_{n + 1}   est le pourcentage de clients de l'entreprise B en   2010 + n+ 1.

          D'après l'arbre :   a_{n + 1}   = 0,85 a_n + 0,10 b_n   

              c-à-d                   a_{n + 1}   = 0,85 a_n + 0,10 ( 1 − a_n   ) = 0,85 a_n + 0,10  −  0,10 a_n   

               c-à-d                a_{n + 1}   = 0,75 a_n + 0,10

           Rechercher l'état stable revient à rechercher la limite a si elle existe de la suite ( a_n  ).

           En effet  comme  b_n = 1 − a_n   on aura aussi la limite b de la suite ( b_n ).

           L'état stables'il existe  sera P = ( a  b ).

           • Pour avoir la limite de la suite ( a_n ) on est amener à utiliser une suite auxiliaire( u_n )

               géométrique ( rarement   arithmétique.   )

             On nous donne  cette suite ( u_n ) ou on peut  la chercher.

            En général sa raison est le coefficient devant a_n  dans    a_{n + 1}   = 0,75 a_n + 0,10

    Par exemple ici on  ne nous donne pas la suite géométrique ( u_n ) parce 

   qu'on n' attend pas cette méthode de la part du candidat.

          Mais on peut  imaginer l'existence d'un réel k tel que:

                                  u_n = a_n − k                              pour tout n dans IN

                  avec     u_{n + 1} = 0,75  u_n              pour tout n dans IN

            On cherche alors k.

             Il vient :       a_{n + 1} − k = 0,75 ( a_n  − k )

           c-à-d         0,75 a_n + 0,10  − k = 0,75  a_n  − 0,75 k 

                c-à-d       0,10  − k =  − 0,75 k 

                c-à-d      0,10 = k − 0,75 k 

                  c-à-d     0,10 = 0,25 k 

                c-à-d      10 / 25 = k

                c-à-d    k = 2 / 5 = 0,4

                  On bien une suite ( u_n ) géométrique de raison  0,75 .

                  Elle est telle que : u_n = a_n  − 0,4

               Ainsi  u₀ = a₀  − 0,4 =  0,9 − 0,4 =  0,5

               Le terme général de la suite ( u_n ) est donc :

                    u_n = 0, 5 x 0,75ⁿ     pour  tout n dans IN.

               Comme    a_n = u_n + k    avec k = 0,4    on a :

                   a_n =  0, 5 x 0,75ⁿ   + 0,4   pour tout n dans IN

                Passons à la limite.

             Comme − 1 < 0,75 < 1   on a  :    lim 0,75ⁿ  = 0

                                                                        n → + ∞

             Donc   lim ( 0, 5 x 0,75ⁿ  + 0,4 ) = 0,4

                               n → + ∞

                   c-à-d   lim a_n = 0,4

                                  n → + ∞

               En conclut que a = 0,4   Donc b = 0, 6     

                On retrouve le résultat. 

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           EXERCICE 2 

           Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.

          On considère que:

         •  Si Léa s'est connectée un certain jour , la probabilité qu'elle se

          connecte le lendemain est égale à 0,9.

         •Si Léa ne s'est pas connectée un certain jour,  la

          probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à 0,8.

          Pour tout entier n ≥ 1, on note a_n  la probabilité que Léa se connecte le

         n ième jour et b_n la probabilité qu'elle ne se connecte pas le n ième jour.

           On a donc  a_n + b_n = 1

            Le premier jour, Léa ne s'est pas connectée, on a donc a₁ = 0.

         1.a. Traduire les données par un graphe probabiliste.

                 REPONSE:

           b. Préciser la matrice M de transitionassociée à ce graphe.

                  REPONSE:

           c. Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour.

                   REPONSE :

                                      On veut :   a₃

                                       ( a₃    b₃ )    = P₃    = P₁ x M ^{3 − 1}     =  P₁ x M ²

                             ( a₃    b₃ )   = (  0,88      0,12  )

                    Conclusion :   La probabilité que Léa se connecte le troisième jour est  a₃ = 0,88

      2. Démontrer que, pour tout entier n ≥ 1 , on a  a_{n + 1}  = 0,1 a_n + 0,8

    On a :

                 Les événements A_{n + 1}   ∩ A_n   , A_{n + 1}  ∩ B_n   sont disjoints.

               Donc :    

                           P( A_{n + 1} ) = P( A_{n + 1}   ∩ A_n   ) + P ( A_{n + 1}  ∩ B_n   )

             c-à-d

              c-à-d  

                                      a_{n + 1}   = 0,9 a_n +  0,8  b_n   

              c-à-d

                                       a_{n + 1}   = 0,9 a_n + 0,8 ( 1 − a_n   ) = 0,9 a_n + 0,8  −  0,8 a_n   

               c-à-d                  a_{n + 1}   = 0,1  a_n +  0,8 

         3. On considère la suite ( u_n ) définie, pour tout entier n ≥ 1, par :

                               u_n = a_n − 8 / 9

           a. Montrer que la suite ( u_n)  est une suite géométrique, préciser

              sa raison et son premier terme.

             REPONSE :

                     a_{n + 1}  − 8 / 9  =   0,1 a_n + 0,8   − 8 / 9 =  0,1 a_n   − 0,8 / 9 = 0, 1 ( a_n   − 8 / 9 )

                    c-à-d                                       

                    u_{n + 1} = 0,10 u_n         pour tout n dans IN*

         b. Exprimer u_n , puis a_n en fonction de n.

               On a:         u₁ = a₁  −  8 / 9  = 0 −  8 / 9  = −  8 / 9

                    u_n = − ( 8 / 9 )  0,1^{n − 1}        pour tout n dans IN*

                  puis     a_{n   =}  − ( 8 / 9 )  0,1^{n − 1}    +   8 / 9

         4. a. Déterminer en le justifiant la limite de la suite ( a_n ) .

                   − 1   <  0, 1 < 1      Donc     lim   0,1^{n − 1}    = 0

                                                                 n→ ∞

                      lim [   − ( 8 / 9 )  0,1^{n − 1}    +   8 / 9  ] = 8 / 9

                       n→ ∞

               Donc      lim a_n = 8 / 9

                                  n→ ∞

            b. Interpréter le résultat.

                    Il y a un état stable. 

                     Sur le long terme la probabilité que  Léa se connecte est  8 / 9

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