Suite de la leçon sur les suites. 1S Mai 2009
II. SUITES GEOMETRIQUES .
1. Définition.
Une suite ( vn ) définie sur IN est géométrique quand :
Il existe un réel q ( appelé raison ) tel que
vn + 1 = q vn pour tout n dans IN.
( Elle est parfaitement caractérisée par son premier terme et sa raison.)
Les suites géométriques sont des suites récurrentes.
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• Exemple: La suite de terme général vn = 2n pour tout n dans IN.
Sa raison est 2 et son premier terme est 1.
En effet:
On a vn +1 = 2n +1 = 2 × 2n = 2 vn
vn +1 = 2 vn pour tout n dans IN .
De plus v0 = 20 = 1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Prop. Si la suite ( vn ) est géométrique de raison q , non nulle ,
et de premier terme v0 alors son terme général est :
vn = v0 qn pour tout n dans IN.
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Explication. Soit la suite ( vn ) est géométrique de raison q , non nulle ,
et de premier terme v0 . • Alors v0 = v0 q0 . • Soit n dans IN quelconque. Si vn = v0 qn alors vn + 1 = q vn = = q v0 qn = v0 qn + 1 .
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EXEMPLE.
Soit la suite ( vn ) est géométrique de raison 3 et de premier terme v0 = 2 .
Alors vn = 2 × 3n pour tout n dans IN.
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3. Prop.
Soit ( vn ) une suite géométrique de raison q définie sur IN.
• v0 + v1 + .........+ vn = ( n + 1 ) v0 si q = 1.
• v0 + v1 + .........+ vn = v0 ( 1 - qn + 1 ) / ( 1 - q ) si q ≠ 1
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Explication.
• q = 1. Tous les termes étant égaux au premier terme il suffit de
multiplier le nombre de termes par le premier terme pour avoir la somme.
• q ≠ 1
On a:
v0 + v1 + .........+ vn - q ( v0 + v1 + .........+ vn ) = ( 1- q ) (v0 + v1 + .........+ vn ) ( 1 )
De plus :
v0 + v1 + .........+ vn - q ( v0 + v1 + .........+ vn ) = v0 + v1 + v2 +...+ vn - ( q v0 + q v1 + ... + q vn )
c-à-d
v0 + v1 + .........+ vn - q ( v0 + v1 + .........+ vn ) = v0 - q vn = v0 - vn + 1
c-à-d
v0 + v1 + .........+ vn - q ( v0 + v1 + .........+ vn ) = v0 - v0 qn+1 = v0 ( 1 - qn+1 ) ( 2 )
( 1 ) et ( 2 ) donnent:
( 1- q ) (v0 + v1 + .........+ vn ) = v0 ( 1 - qn+1 )
c-à-d
v0 + v1 + .........+ vn = v0 ( 1 - qn + 1 ) / ( 1 - q )
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EXEMPLE.
1+ 2 + 22 + ............+ 28 = 1 ( 1 - 29 ) / ( 1 - 2 )
c-à-d 1+ 2 + 22 + ............+ 28 = 29 - 1 = 511
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4. Prop.
Soit q un réel . Soit n dans IN.
• Si q > 1 alors alors qn tend vers +∞ quand n tend vers +∞ .
•Si 0 < q < 1 alors qn tend vers 0 quand n tend vers +∞ .
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Explication. ( Dans la liste 1 d'exercices faire les premiers exercices.)
• Pour le premier point le raisonnement repose sur l'idée qu'un réel q >1
peut se mettre sous la forme 1 + α avec α > 0 et sur l'inégalité
de Bernoulli ( 1 + α )n >= 1 + n α . En constatant que lim ( 1 + n α ) = + ∞
n → + ∞
• Pour le second point il suffit de considérer 1 / q >1.
Dès lors lim ( 1 / q ) = + ∞
n → + ∞ L'inverse donne le résultat attendu.
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EXEMPLE. • lim 2n = + ∞
n → + ∞
car 2 > 1.
• lim ( 1 / 3 )n = 0
n → + ∞
car 0 < 1 / 3 <1.
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