INFO Activité sur la carte vitale TS spé math. mars 2017
1 pour un homme 2 pour une femme.
54 pour dire l'année 1954 de naissance.
04 pour le mois d'avril.
54 pour le département de naissance.
208 pour le code de la commune de naissance.
091 pour le n° sur le registre des naissances de l'état civil.
Le numéro INSEE d'une personne est un nombre de 15 chiffres qui se
compose de plusieurs parties.
• Les 13 premiers chiffres forme un nombre N écrit dans le système décimal.
• Les deux derniers chiffres forment une clé K de contrôle.
On a : N =a12 1012 + a11 1011 + ... + a6 106 + a5 105 + ..... + a1 101 + a0 100 .
On note N = a12 a11 .... ... a6 a5 a4....... a1 a0 dans le système décimal .
On note r le reste de la division euclidienne de N par 97.
On admet que la clé est K = 97 − r .
On ne peut pas forcément trouver K directement en raison
de la capacité de la calculatrice.
1. a. Déterminer les entiers a et b tels que :
N = a × 106 + b
REPONSE :
N = (a12 106 + a11 105 + ... + a8 102 + a7 101 + a6 )×106 + a5 105 + ... + a1 101 + a0 100 .
a = a12 a11 a10 a9 a8 a7 a6
b = a5 a4 a3 a2 a1 a0
a est formé des 7 premiers chiffres et b est formé des 6 chiffres suivants.
Donc pour POINCARRE:
a =1540454 et b = 208091
b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 102 par 97.
puis celui de la division euclidienne de 106 par 97.
REPONSE:
• On a: 100 = 1 × 97 + 3 Donc: le reste de la division de 102 par 97 est 3
• On peut écrire : 102 ≡ 3 [ 97 ]
Donc : ( 102 )3 ≡ 33 [ 97 ]
Ainsi : 106 ≡ 27 [ 97 ] avec 0 ≤ 27 < 97
D'où: Le reste de la division 106 par 97 est 27
c . Montrer que: N ≡ 27 a + b [ 97]
REPONSE:
On a : 106 ≡ 27 [ 97 ] × a
1 ≡ 1 [ 97 ] × b
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D'où: a 106 + b ≡ 27 a + b [ 97 ]
c-à-d
Conclusion: N ≡ 27 a + b [ 97 ]
2. Montrer que K ≡ 97 − 27 a − b [ 97 ]
REPONSE:
r est le reste de la division de N par 97
Donc N ≡ r [ 97 ] avec 0 ≤ r < 97
Or : N ≡ 27 a + b [ 97 ]
Donc: 0 ≡ r − 27 a − b [ 97 ] par soustraction
c-à-d − r ≡ − 27 a − b [ 97 ]
c-à-d 97 − r ≡ 97 − 27 a − b [ 97 ]
Mais : K = 97 − r et 0 < K ≤ 97
Donc : K ≡ 97 − 27 a − b [ 97 ]
3. Calculer la clé K de POINCARRE pour remplacer les ??
REPONSE:
97 − 27 a − b = 97 − 27 × 1540454 − 208091
c-à-d
97 − 27 a − b = − 41800252
On commence par effectuer la division euclidienne de 41800252 par 97
D'où 41800252 = 430930 × 97 + 42 × ( − 1 )
On multiplie par − 1
Donc, il vient : − 41800252 = −430930 × 97 − 42
− 42 < 0 Or le reste est est entre 0 accepté et 97 refusé.
Donc on ajoute 97 de façon à obtenir − 42 + 97 = 55
mais en retranchant − 97 .
Ainsi : − 41800252 = −430930 × 97 − 42 + 97 − 97
On obtient: − 41800252 = −430931 × 97 + 55
Ainsi : 97 − 27 a − b ≡ 55 [97 ] avec 0 < 55 ≤ 97
La clé est: K = 55
4 . Si l'on permute les deux derniers des 13 premiers
chiffres ( c-à-d 9 et 1 ), la clé est elle modifiée ?
( Autrement dit la clé permet-elle de détecter l'erreur )
REPONSE: OUI
Il suffit de calculer la clé pour le voir:
97 − 27 a − b = 97 − 27 × 1540454 − 208019
97 − 27 a − b = − 41800180
Déjà 41800180= 430929 × 97 + 67 × ( − 1 )
D'où − 41800180 = − 430929 × 97 − 67
Puis − 41800180 = − 430929 × 97 − 67 + 97 − 97
c-à-d − 41800180 = − 430930 × 97 + 30
Ainsi : 97 − 27 a − b ≡ 30 [97 ] avec 0 < 30 ≤ 97
La clé est K = 30 Elle a changé.
5. Si l'on entre 305 au lieu de 208 pour la commune l'erreur est-elle détectée ?
REPONSE: Il suffit de calculer la clé:
97 − 27 a − b = 97 − 27 × 1540454 − 305091
97 − 27 a − b = − 41897252
Déjà 41897252 = 431930 × 97 + 42 × ( − 1 )
Donc − 41897252 = − 431930 × 97 − 42
Ainsi − 41897252 = − 431930 × 97 − 42 + 97 − 97
c-à-d − 41897252 = − 431931 × 97 + 55
Ainsi : 97 − 27 a − b ≡ 5 [97 ] avec 0 < 55 ≤ 97
La clé est K = 55 Elle n' a pas changé.
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