INFO Activité carte vitale

                    INFO  Activité sur la carte vitale                        TS spé math.   mars 2017

            Cartes vital 1

               1 pour un homme     2 pour une femme.

               54   pour dire l'année 1954 de naissance.

               04  pour le mois d'avril.

               54   pour le département de naissance.

              208 pour le code de la commune de naissance.

               091  pour le n° sur le registre des naissances de l'état civil.

             Le numéro INSEE d'une personne est un nombre de 15 chiffres qui se

             compose de plusieurs parties.

            •  Les 13 premiers chiffres forme un nombre N écrit dans le système décimal.

            •  Les deux derniers chiffres forment une clé K de contrôle.

             On a :           N =a12 1012  + a11  1011  + ...   +   a10 + a10+    .....  + a1 101  + a0 100  .

                On note  N = a12  a11  .... ...    a a5 a4....... a1 a0   dans le système décimal .

             On note r le reste de la division euclidienne de N par 97.

             On admet que la clé est   K = 97 − r .

              On ne peut pas forcément trouver K directement en raison

             de la capacité de la calculatrice.

            1. a. Déterminer les entiers a et b tels que :

                             N = a × 106  + b

                  REPONSE :

                       N = (a12 106  + a11  105  + ...  + a10+ a101 +   a)×10 + a10+  ... + a1 101  + a0 100  .

                     a = a12  a11  a10  a a a7  a

                     b =  aa4  a a2  a1  a0

                   a est formé des 7 premiers chiffres et b est formé des 6 chiffres suivants.

                 Donc pour POINCARRE:

                            a =1540454              et         b = 208091

                b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 102  par 97.

                   puis celui de la division euclidienne de 106  par 97.

                      REPONSE: 

                    • On a:   100  = 1 × 97 + 3   Donc:   le reste de la division de 102 par 97 est 3

                     •  On peut écrire :   102 ≡  3  [ 97 ]

                            Donc :     (  102 )3 ≡  33  [ 97 ]

                           Ainsi :     106 ≡  27  [ 97 ]    avec   0 ≤ 27 < 97

                          D'où:  Le reste de la division 106  par 97 est 27

                c . Montrer que:      N ≡ 27 a + b [ 97]

                     REPONSE: 

             On a :     106 ≡  27  [ 97 ]              × a

                             1  ≡  1  [ 97 ]                 × b

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         D'où:      a  106  + b   ≡  27 a + b    [ 97 ]

          c-à-d 

             Conclusion:     N  ≡  27 a + b    [ 97 ]

             2. Montrer que     K  ≡ 97  − 27 a − b  [ 97 ]

                   REPONSE:

                         r est le reste de la division de N par 97

                        Donc   N  ≡ r   [ 97 ]                avec   0 ≤ r < 97

                          Or :   N  ≡ 27 a  + b  [ 97 ]

            Donc:             0  ≡ r − 27 a  − b  [ 97 ]   par soustraction

             c-à-d            − r  ≡ − 27 a  − b  [ 97 ]

             c-à-d       97  − r  ≡ 97 − 27 a  − b  [ 97 ]

                  Mais :       K = 97 − r            et           0  < K   ≤   97

                  Donc :      K   ≡ 97 − 27 a  − b  [ 97 ]     

             3. Calculer la clé K de POINCARRE  pour remplacer les  ??

                     REPONSE: 

                      97 − 27 a − b = 97  − 27 × 1540454   − 208091 

                   c-à-d

                       97 − 27 a − b =  − 41800252

         On commence par effectuer la division euclidienne de 41800252 par 97

          D'où         41800252 = 430930 × 97 + 42             × ( − 1 )

          On multiplie par     − 1 

    Donc, il vient :               − 41800252 = −430930 × 97 − 42

           − 42 < 0    Or le reste est est entre 0 accepté et 97 refusé.

         Donc on ajoute 97  de façon à obtenir   − 42 + 97 = 55

           mais en retranchant − 97  .

       Ainsi :              − 41800252 = −430930 × 97 − 42 + 97 −  97

       On obtient:      − 41800252 = −430931 × 97  + 55 

        Ainsi :    97 − 27 a − b  ≡  55  [97 ]      avec    0 < 55 ≤ 97         

                La clé est:        K =  55  

           4 . Si l'on permute les deux derniers  des 13 premiers

                   chiffres ( c-à-d   9 et 1 ), la clé est elle modifiée

                ( Autrement dit la clé permet-elle de détecter l'erreur  ) 

           REPONSE:  OUI

            Il suffit de calculer la clé pour le voir:                                 

           97 − 27 a − b = 97  − 27 × 1540454   − 208019  

                       97 − 27 a − b = − 41800180

             Déjà    41800180= 430929 ×  97 + 67        × ( − 1 )

            D'où     −  41800180 = −  430929 ×  97 −  67

          Puis        −  41800180 = −  430929 ×  97 −  67  + 97 −  97

        c-à-d            −  41800180 = −  430930 ×  97  + 30 

           Ainsi :    97 − 27 a − b  ≡  30  [97 ]      avec    0 < 30 ≤ 97       

              La clé est  K = 30      Elle a changé.

     5. Si l'on entre 305 au lieu de 208 pour la commune l'erreur est-elle détectée ?

          REPONSE:               Il suffit de calculer la clé:

                  97 − 27 a − b = 97  − 27 × 1540454   305091 

                          97 − 27 a − b =  − 41897252

                  Déjà    41897252 = 431930 × 97 + 42       × ( − 1 )

           Donc   −  41897252 = −  431930 × 97 −  42

          Ainsi    − 41897252 = −  431930 × 97 −  42 + 97 − 97

           c-à-d    − 41897252 = −  431931 × 97 + 55

          Ainsi :    97 − 27 a − b  ≡  5  [97 ]      avec    0 < 55 ≤ 97       

              La clé est  K = 55      Elle n' a pas changé.

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