INFO 2 DS n° 1 1S1 7/10/09

       INFO 2           DS n° 1            1S1                      07/10/09 

      • EXERCICE 2                4 POINTS

                                  Soit la fonction  f : x→ x3  - 4 x2  + 3 x.

                               1. Trouver une racine évidente de l'équation f( x ) = 0.

                               2. Résoudre l'équation f( x ) = 0

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Réponse:

                       1.Recherche d'une racine évidente.

                             Comme le plynôme   x3  - 4 x2  + 3 x      a son terme

                            constant qui est nul on a:

                            Conclusion : O est une racine évidente.

                            ( Cela se voit aussi en constatant que l'on peut factoriser x. )

                      2.   Résolution de f( x ) = 0 .

                           On a :   f( x ) = 0    équivaut  à   x3 - 4 x2  + 3 x = 0

                                                          c-à-d              x ( x2  - 4 x + 3 ) = 0

                                                          c-à-d    x = 0  ou  x2  - 4 x + 3 = 0

                                 Considérons   l'équation du second degré    x2  - 4 x + 3 = 0

                                 1 en est une racine évidente car  la somme des

                                  coefficients est nulle:

                                    1 -  4 +3 = 0 .

                                 L'autre racine est donc c / a  = 3 / 1 = 3

    Finalement :     f( x ) = 0   équivaut à  x = 0   ou    x = 1   ou    x = 3.

                                  Conclusion:   S = { 0 ; 1 ; 3 }     

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      • EXERCICE 3                  4 POINTS

                      Soit la fonction  g : x→ ( x - 1 ) / ( x + 2 )  définie dans IR- { - 2 }.

                      a. Trouver deux réels a et b tels que :

                           g( x ) = a  +   b / ( x + 2 )    pour tout x dans  IR- { - 2 }.

                      b. Décomposer la fonction g.

                      c. En déduire son sens de variation.

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   Réponse:

                     a.Recherche de a et b.

                       Soit x dans IR- { - 2 }.

        On a :       g( x ) = ( x - 1 ) /  ( x + 2 )

         c-à-d               g( x ) = ( x + 2 - 3   ) / ( x + 2 )

          c-à-d        g( x ) = ( x + 2 ) / ( x + 2 ) - 3 / ( x + 2 )

          c-à-d        g( x ) = 1  - 3 / ( x + 2)

                      Conclusion : a = 1        b  = - 3     

                      b.Décomposition de la fonction g.

                             Soit les fonctions de simples suivantes:

                            u: x     x + 2

                           v: x       1 / x

                           w : x    1 -  3 x

                 On a  :  g = w o v o u     sur IR - { - 2 }.

                En effet :

                 Pour tout x dans IR - { - 2 }  on a :

        w ( v ( u ( x ) ) ) = w ( v ( x + 2 ) ) = w ( 1 / ( x + 2 ) ) = 1 - 3 / ( x + 2 )

         Conclusion : g = w o v o u    

             c. Sens de variation de g.

                      • La restriction de la fonction  u  aux intervalles de  IR - { - 2 }

                        est strictement  croissante   et  non nulle .

                      • La fonction v est strictement décroissante sur les intervalles de IR - { 0 }.

                      • La fonction w est strictement décroissante sur IR.

                        Ainsi sur les deux intervalles ] -  ∞, - 2 [ et ] - 2 , +  ∞ [  la fonction  g

                        est la composée d'une fonction croissante avec de deux fonctions

                        strictement décroisssantes.

                          Conclusion : g est croissante  sur les intervalles ] -  ∞, - 2 [ et ] - 2 , +  ∞ [ .

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