INFO EX EXCICE SUR SUITES ADJACENTES Mars 2011
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EXERCICE 2
Soit les suites ( u ) et ( v ) définies sur IN* par:
un = 1 - 1 / n
vn = 1 + 1 / n pour tout n dans IN*
Etablir que ces deux suites sont adjacentes.
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Réponse :
• Montrons que la suite ( u ) est croissante sur IN*.
Soit n dans IN*.
On a :
un = 1 - 1 / n
un + 1 = 1 - 1 / ( n + 1 )
Par différence :
un + 1 - un = 1 - 1 / ( n + 1 ) - ( 1 - 1 / n )
c-à-d
un + 1 - un = - 1 / ( n + 1 ) + 1 / n
c-à-d par réduction au même dénominateur
un + 1 - un = [ - n + ( n + 1 ) ] / [ n ( n + 1 ) ]
c-à-d
un + 1 - un = 1 / [ n ( n + 1 ) ]
Comme 1 / [ n ( n + 1 ) ] ≥ 0 pour tout n dans IN*
on a : un + 1 - un ≥ 0 pour tout n dans IN*
La suite ( u ) est bien croissante sur IN*.
• Montrons que la suite ( v ) est décroissante sur IN.
La fonction g : x → 1 + 1/ x est définie et dérivable sur IR*.
On a : g' : x → - 1 / x2
Donc g ' < 0 sur IR*
Ainsi la fonction g est décroissante sur IR*.
Sa restriction à IN* l'est aussi.
Donc la suite ( v ) de terme général
vn = g( n ) = 1 + 1 / n
est décroissante sur IN*.
La suite ( v ) est décroissante dans IN*.
• Montrons que lim ( vn - un ) = 0
n → +∞
Soit n dans IN*
On a : vn - un = 1 + 1 / n - ( 1 - 1 / n )
c-à-d vn - un = 2 / n
Or lim ( 2 / n ) = 0
n → +∞
Donc :
lim ( vn - un ) = 0
n → +∞
Conclusion : Finalement les deux suites sont bien adjacentes.
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