INFO EX 2 SUITES ADJACENTES

                   INFO       EX EXCICE  SUR  SUITES ADJACENTES        Mars 2011

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        EXERCICE 2

               Soit les suites ( u ) et ( v ) définies sur IN* par:

                    u  =    1  -  1 / n                   

                   v  =    1  +  1 / n                    pour tout n dans IN*

               Etablir que ces deux suites sont adjacentes.

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         Réponse :

                        • Montrons que la suite ( u ) est croissante sur IN*.

                             Soit n dans IN*.   

                              On a :

                            u  =    1  -   1 / n

                           un + 1    =    1  -   1 / ( n + 1 )

                  Par différence :   

                              un + 1    -   un   =  1   -   1 / ( n + 1 ) - (   1  -   1 / n  )

                         c-à-d

                           un + 1    -   un   =    -   1 / ( n + 1 )   + 1 / n

                         c-à-d     par réduction au même dénominateur

                             un + 1    -   un   =   [ -  n + ( n + 1 ) ]  /  [ n ( n + 1 ) ]              

                       c-à-d  

                         un + 1    -   un   =  1 /   [ n ( n + 1 ) ]

                       Comme  1 /   [ n ( n + 1 ) ]  ≥   0   pour  tout n dans IN*

                         on a  :    un + 1    -   un    ≥   0    pour  tout n dans IN*

                         La suite ( u ) est bien croissante sur IN*.

                     •  Montrons que la suite ( v ) est décroissante sur IN.

                        La fonction g : x  →  1 + 1/ x   est définie et dérivable sur IR*.

                         On a :                   g' : x    →   - 1 / x2

                          Donc                  g ' < 0   sur   IR*

                        Ainsi  la fonction g est décroissante sur IR*.

                        Sa restriction à IN* l'est aussi.

                   Donc  la suite  ( v )  de terme général 

                  vn = g( n ) =  1 + 1 / n

                  est décroissante sur IN*.

                La suite ( v ) est décroissante dans IN*.

                    •  Montrons que   lim ( vn - un  ) = 0

                                                     n   →  +∞

                           Soit n dans IN*

                           On a :              vn - un    =  1 + 1  / n -  ( 1  - 1 / n )

                           c-à-d       vn - un    =  2 / n

                           Or    lim  (  2 / n  )  = 0

                                      n   →  +∞

                               Donc : 

                                 lim ( vn - un  ) = 0

                                        n   →  +∞

      Conclusion : Finalement les deux suites sont bien adjacentes.

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