INFO 4 DV n° 3 1S1 28 / 11/ 09
PROBLEME n° 107 Livre Didier
Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Soit f( x ) = ( 2 x - 1 ) / ( x - 1 ) pour tout x dans IR- { 1 }.
1.Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x dans IR- { 1 } ,
f( x ) = a + b / ( x - 1 ).
• f( x ) = [ ( 2 x - 2 ) + 2 - 1 ] / ( x - 1 ) pour tout x dans IR- { 1 } .
Donc f( x ) = 2 + 1 / ( x - 1 ) pour tout x dans IR- { 1 } .
Conclusion : a = 2 et b = 1
2. En déduire le tracé de la courbe ( C ) représentant f avec
pour unité graphique 1 cm.
La courbe de la fonction f: x→ 2 + 1 / ( x - 1 ) s'obtient
à partir de celle de la fonction x→ 1 / x à l'aide de la
translation t de vecteur 1 vect( i ) + 2 vect ( j ).
3. Soit la droite d'équation y = - x + 1.
a. Tracer D sur le même graphique que ( C ).
b. Résoudre l'inéquation f( x ) ≤ - x + 1 dans IR - { 1 ].
Remplaçons f( x ) par son expression.
Soit x dans IR - { 1 ].
2 + 1 / ( x - 1 ) ≤ - x + 1
s'écrit: x + 1 + 1 / ( x - 1 ) ≤ 0
c-à-d [ ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 1] / ( x - 1 ) ≤ 0
c-à-d [ x² - 1 + 1 ] / ( x - 1 ) ≤ 0
c-à-d x² / ( x - 1 ) ≤ 0
c-à-d x = 0 ou x - 1 < 0
c-à-d x < 1
Conclusion : S = ] - ∞ , 1 [
c. Interpréter graphiquement .
Régardons quand on a la droite D: y = - x + 1 au dessus, au sens large,
de la courbe ( C ).
Conclusion : Sur l'intervalle ] - ∞ , 1 [ on a la droite D
au dessus, au sens large, de la courbe ( C ).
4. Pour tout réel m , on note Dm la droite d'équation y = - x + m.
a. Que peut-on dire des droites D et Dm ?
Comparons les cœfficients directeurs de D et Dm .
Ils sont égaux à - 1.
Conclusion : D et Dm sont parallèles
b. Conjecturer graphiquement le nombre de points communs
à C et Dm suivant les valeurs de m.
Mettons la règle sur la droite D1 c-à-d sur D.
Faire glisser la règle en conservant sa direction.
Chaque position de la règle correspond à une droite Dm .
On lit la valeur de m sur l'axe des ordonnées.
Nous pouvons voir le nombre de points communs entre la courbe ( C )
et la règle en notant la valeur de m.
Discussion.
• pour m > 5 Deux points communs.
• pour m = 5 Un seul point commun.
• pour 1 < m < 5 Aucun point commun.
• pour m = 1 Un seul point commun.
• pour m < 1 Deux points communs.
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