INFO 4 DV n° 3 1S1 28 no. 09

  INFO 4            DV n° 3        1S1           28 / 11/ 09    

         PROBLEME n° 107         Livre Didier  

               Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                  Soit  f( x ) = ( 2 x - 1 ) / ( x - 1 )     pour tout x dans IR- { 1 }.

               1.Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x dans IR- { 1 } , 

                   f( x ) = a +  b / ( x - 1 ).

                              • f( x ) =   ( 2 x  - 2 ) + 2 - 1 ] / ( x - 1 )    pour tout x dans IR- { 1 } .

                                 Donc f( x ) = 2   +   1 / ( x - 1 )    pour tout x dans IR- { 1 } . 

                                  Conclusion :   a  = 2    et   b =  1

               2. En déduire le tracé de la courbe ( C ) représentant  f  avec

                  pour unité graphique 1 cm.

                      La courbe de la fonction f: x→ 2  + 1 / ( x - 1 ) s'obtient

                      à partir de celle de la fonction   x→  1  / x   à l'aide de la

                      translation t de vecteur  1 vect( i ) + 2 vect ( j ).

              3. Soit la droite d'équation y = - x + 1.

                 a. Tracer D sur le même graphique que ( C ).   

                      

                 b. Résoudre l'inéquation f( x ) ≤ - x + 1 dans IR - { 1 ].

                        Remplaçons f( x ) par son expression.

                        Soit x dans IR - { 1 ].

                                    2  + 1 / ( x - 1 )  ≤ - x + 1

            s'écrit:              x + 1  +  1 / ( x - 1 )  ≤ 0

            c-à-d             [ (  x + 1 ) ( x - 1 ) +  1]  / ( x - 1 )  ≤ 0

            c-à-d              [ x² - 1 + 1 ] / ( x - 1 )   ≤ 0

            c-à-d              x² / ( x - 1 ) ≤ 0   

            c-à-d               x = 0  ou   x - 1 < 0

            c-à-d                x  < 1 

                  Conclusion :   S = ] -  ∞  , 1 [                   

                 c. Interpréter graphiquement .

                      Régardons  quand on a la  droite D: y = - x + 1  au dessus, au sens large,

                      de la courbe ( C ). 

                       Conclusion :   Sur l'intervalle  ] -  ∞  , 1 [    on a  la  droite D  

                       au dessus, au sens large, de la courbe ( C ). 

               4. Pour tout réel m , on note Dm   la droite d'équation y = - x + m.

                    a. Que peut-on dire des droites D et Dm ?

                          Comparons  les cœfficients directeurs de  D et Dm .

                          Ils sont égaux à  - 1.

                             Conclusion :   D et Dm  sont parallèles 

                  b. Conjecturer graphiquement le nombre de points communs

                         à  C  et  Dm   suivant  les valeurs de m.

                         Mettons la règle sur la droite  D1   c-à-d sur D.

                         Faire glisser la règle en conservant sa direction.

                         Chaque position de la règle correspond  à une droite Dm .

                         On lit la valeur de m sur l'axe des ordonnées.

                         Nous pouvons voir  le nombre de points communs entre la courbe ( C )

                         et la règle en notant la valeur de m.

                                Discussion.

                               • pour  m  > 5              Deux points communs.

                               • pour m  = 5               Un seul point commun.

                               • pour    1 < m < 5        Aucun point commun.

                              • pour m  = 1                 Un seul point commun.

                                 • pour m  < 1               Deux  points communs.

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                  Voir la suite : INFO 5  DV n° 3