Suite 5 du cours: Nb Complexes

Suite 5 du cours: Nb Complexes

                   Suite 5 du cours:   Nombres  Complexes              TS

                   La notion de coordonnées polaires d'un point distinct de l'origine est connue depuis la classe de

                   première S.

                  Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O ; vect( u ) , vect( v ) ).

                        

                             D est de coordonnées polaires [  √8  , 3 π / 4 ].

                            car     OD = √8     et     ( vect( u ) , vect ( O D )) = 3 π / 4  ( 2   π )

                  1. Affixe d'un point  M[ r , Θ ]  distinct de l'origine.

                    Soit M un point distinct de l'origine O et de coordonnées polaires [ r , Θ ].

                    Vous avez vu que ses coordonnées cartésiènnes sont:

                           x = r cos Θ

                           y = r sin Θ

                   Donc l'afixe de M est :    z  = x + i y = r( cos  Θ + i sin Θ )

                            r( cos  Θ + i sin Θ )     est   une forme trigonomètrique de z.

                     Comme tout nombre complexe z non nul admet un point image M( z )

                     distinct de l'origine, qui admet des coordonnées polaires [ r ,  Θ ] , tout

                     nombre complexe z non nul admet comme une des  formes trigonométriques

                      r ( cos  Θ + i sin  Θ ).

                   (   Θ n'étant pas unique , il n'y a pas unicité de la forme trigo. de z .)

                    Par convention  Θ est appelé un argument de z et est noté arg( z ) .

                    Θ + 2 π sera aussi un argument de z.

                     Comme pour les mesures d'angles orientés , les arguments diffèrent

                     d'un multiple de 2 π.

             2. Propriété.

                    Soit r et r' deux réels strictement positifs.

                    Soit  Θ et  Θ ' deux réels.

                   Alors:

                 r ( cos  Θ + i sin  Θ ) =  r' ( cos  Θ' + i sin  Θ' ) 

                      ssi    r = r ' et   Θ  = Θ'   ( 2 π )

                ( Démonstration facile en exercice )

               3.  Notation r ei Θ.

               Soit la fonction f : Θ → cos Θ + i sin Θ .

               Elle admet comme fonction dérivée f ' : Θ  → cos'  Θ + i sin ' Θ

                 c-à-d   f ' : Θ  → -  sin  Θ + i cos Θ

                 c-à-d   f ' : Θ  → i²  sin  Θ + i cos Θ

                  c-à-d  encore  f ' : Θ  → i( i  sin  Θ + cos Θ )

                 Ainsi       f ' = i f   sur IR.

                f  vérifie l' équation différentielle  y ' = i y .

                A ce tître on considère la notation f : Θ → ei Θ

                  Ainsi :   cos Θ + i sin Θ = ei Θ

                  D'où   r (  cos Θ + i sin Θ ) = r  ei Θ

                  r  ei Θ   est  appelé forme exponentielle de   r (  cos Θ + i sin Θ ).

             4. Comment obtenir la forme trigo. d'un nombre complexe non nul.

                 C'est la même technique que pour avoir des coordonées polaires

                 à partir de coordonnées cartésiènnes.

                  Soit   z = x + i y  avec   ( x ,y ) ≠   ( 0 , 0 )

                   On pose : r = √( x² + y² )     ( c'est le module de z )

                  puis on cherche un réel Θ tel que :

                            cos Θ = x / r

                            sin Θ = y / r

                      en s'aidant du cercle trigo.