INFO TEST ORDI JV 09

  NOM: .................   PRENOM: ...............    DATE: ...............                   CLASSE: BTS

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 Il y a six cartons dont 3 cartons rouges , 1 carton orange , 2 cartons verts dans une urne.

 Le joueur doit payer 10 euros pour participer. Il tire alors un carton.

 Il reçoit 10 euros pour un carton orange , 0 euros pour un carton rouge , m euros pour un

 carton vert. (    m > 10 )

 Soit X la v.a.r. discrète qui indique la gain algébrique du joueur.

   1. Quelles sont les valeurs de X ?    - 10   ;     0     ;    m - 10

 

   2. Compléter le tableau donnant la loi de probabilité de X.

   x            -10          0           m - 10        
    P( X = x )      3 / 6       1 / 6      2 / 6

 

   3. Trouver l'espérance de X en fonction de m.

            E( X ) =  - 10 × 3 / 6   + ( m - 10 ) × 2 / 6 =  - 30 / 6  +  2 m / 6  - 20 / 6

           E(X ) = - 50 / 6   +   2 m / 6

           E( X ) = ( m - 25  ) / 3

 

    4. Pour quelle valeur de m le jeu est-il équitable ?   Quand E( X ) = 0

              c-à-d      quand m - 25 = 0   c-à-d       quand m = 25

 

     5. Compléter le tableau:

    x²        100    0           ( m - 10 )²            
    x   - 10    0    m - 10
   P( X = x )             3 / 6        1 / 6          2 / 6   

 

      6.  Trouver la variance V( X ) en fonction de m.

        V( X ) =  100  ×  3 / 6  +   ( m - 10 )² ×  2 / 6     -    ( ( m - 25  ) / 3   )²

       V( X ) =   ( 300 + 2 m²  - 40 m + 200 ) / 6   - (  m² - 50 m + 625 ) / 9

        V( X ) = ( 2 m² - 40 m + 500 ) / 6 - (  m² - 50 m + 625 ) / 9

        V( X ) = ( m²   - 20 m + 250 ) / 3   - (  m² - 50 m + 625 ) / 9

        V( X ) =  ( 3 m²   - 60 m + 750 - m² + 50 m - 625 ) 9

       V( X ) = (  2 m²  - 10 m + 125 ) / 9

 

     7. Trouver P ( X > 0 ) = P( X = m - 10 )

             P( X > 0 ) = 2 / 6 

             P( X > 0 ) = 1 / 3      

 

    8. Le joueur décide de jouer 10 fois de suite à ce jeu.  

        Soit Y la v.a.r qui indique à la fin lenombre de fois où le gain a été strictement positif.

        Trouver P( Y = 0 ) =  ( 1 - 1 / 3 )10  = (  2 / 3 )10    

                         P( Y = 0 ) ≈ 0,0173

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