INFO EX SPE BAC BLANC du 4 mai 2017

                        INFO   Bac blanc TS du 5 mai 2017

   EXERCICE 4 
                      Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité.

         Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie

         ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera

        pas prise en compte et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.

              Résumé des réponses :

Aff.1 Aff.2 Aff.3 Aff.4 Aff.5
VRAIE VRAIE VRAIE FAUSSE VRAIE


     • On considère le système:    n ≡  1  [ 5 ]

                                                      n ≡  3  [ 4 ]

                              d'inconnue n entier relatif.

  ••  Affirmation 1 :  Si n est solution de ce système alors n −  11 est divisible par  4 et par 5.

                    REPONSE:

             Soit n un entier relatif  solution du système:

                    n ≡ 1  [ 5 ]

                    n ≡  3  [ 4 ]

            Alors:         n − 11 ≡ 1 − 11 [5]

                              n − 11 ≡ 3  − 11   [4]

            Il suffit de voir maintenant si  1 − 11 est un multiple de 5   et   3 − 11 est un multiple de 4.

                Or:       1 − 11 = − 10 = − 2 × 5          

                       et     3  − 11 =  − 8 = − 2 × 4 

                Ainsi:  

                    n − 11 ≡ 0 [ 5 ]

                    n − 11 ≡ 0 [ 4 ]

               Donc   n − 11   est bien un multiple de 4 et de 5.
           Conclusion: L’affirmation 1 est donc VRAIE.
 

     •• Affirmation 2 :
             Pour tout entier relatif k , l'entier 11 + 20 k est solution du système.

           REPONSE:

             Soit   n = 11 + 20 k     où k entier relatif  quelconque.

             Alors :   n = 1 + 2 × 5 + 4 × 5 k = 1 + 5 × ( 2 + 4 k )   où  2 + 4 k  est un entier relatif

                et          n = 3 + 4 × 2 + 4 × 5 k = 3 + 4 × ( 2 + 5 k )   où 2 + 5 k  est un entier relatif

             Ainsi :    n ≡ 1 [ 5 ]      et   n ≡ 3 [ 4 ]

            c-à-d       11 + 20 k  ≡ 1 [ 5 ]     et     11 + 20 k  ≡ 3 [ 4 ]   pour tout entier relatif k.

             c-à-d

                 11 + 20 k    est solution du système pour tout entier relatif k.

             Conclusion: L’affirmation 2 est donc VRAIE
 

       •• Affirmation 3 : 
            Si un entier relatif n est solution du système alors il existe

            un entier relatif k tel que  n = 11 + 20 k

            REPONSE:

         Soit n un entier relatif  solution du système:

         D'après la première affirmation établie n − 11 est divisible par 4 et par 5.

         Donc il existe un entier relatif  q tel que  n − 11 = 4 q 

        Mais      5 |  n − 11  

        c-à-d    5 | 4 q  

         Or     PGCD( 4 ; 5 ) = 1

       Donc , d'après leTh de Gauss,        5 | q

        Ainsi :  Il existe un entier relatif k  tel  que   q =  5 k 

       D'où   il existe un entier relatif k   tel  que    n − 11  = 4 × 5 k 

        c-à-d    il existe un entier relatif k   tel  que    n − 11  = 20 k 

       c-à-d     il existe un entier relatif k   tel  que    n = 11  + 20 k          
       Conclusion :  L’affirmation 3 est donc vraie.

       • Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. 

         A chaque seconde il peut soit rester dans l'état où il se trouve,

         soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous.

         Pour tout entier naturel n on note an la probabilité que l'automate se

          trouve dans l'état A après n secondes et  bn  la probabilité que l'automate se trouve dans l'état B

         après n secondes .

          Au départ, l'automate est dans l'état B.

                           Gr478 1

        On considère l'algorithme suivant:

Variables :              a et b sont des réels

Initialisation:           a prend la valeur 0

                             b prend la valeur 1

Traitement:          Pour k allant de 1 à 10

                                     a prend la valeur 0,8 a + 0,3 b   

                                     b prend la valeur 1 − a

                           Fin de Pour

                           Afficher a

                           Afficher b        


       •• Affirmation 4 :
            En sortie , cet algorithme affiche les valeurs de a10 et b10.

     REPONSE:

         La matrice de transition M est: 

                       Matrtest

          On  a :

        Egtest478

        Donc :

             Elec45rev

        Ainsi  on a :

                 Bobo147

                  pour tout entier naturel n

       Or l'algorithme propose  an+1 = 0,8 an + 0,3bn   puisque il est écrit:

        a prend la valeur  0,8 a + 0,3 b 
       Conclusion: L’affirmation 4 est donc FAUSSE.
   •• Affirmation 5 :         
         Après 4 secondes , l'automate a autant de chances d'être dans l'état A que dans l'état B.

      REPONSE:

      Pour cela il faut regarde si  a4 = 0,5  c-à-d  b4 = 0,5

       On a :

                  Nlkb22

         Au départ, l'automate est dans l'état B.

         Donc l'état initial est:

                 Marsemoi47

          Ainsi avec la calculatrice :

             Acadimati456

           On a bien :

            a4 = 0,5  c-à-d    b4 = 0,5    sachant que  a4 + b4 = 1  

          Conclusion: L'affirmation 5 est VRAIE. 

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