INFO DV n° 5 TS1 du 6 décembre 2013
EXERCICE 1
Soit la fonction f : x → ( 2 x3 + 3 x + 4 )7
Donner Df , Dd et f ' .
( Etude des variations facultative. )
---------------------------------------------------------------------------------
REPONSE:
• Soit la fonction polynôme u : x → 2 x3 + 3 x + 4 qui est définie et dérivable sur IR.
• Soit n = 7
n est un entier naturel non nul.
On a : f = un
• Ainsi, d'après un résultat de cours, la fonction f est définie et dérivable dans IR
et f ' = ( un ) ' = n u ' un - 1
Ici u ' : x → 6 x2 + 3
u ' > 0 sur IR
Donc : f ' : x → 7 ( 6 x2 + 3 ) (2 x3 + 3 x + 4 )6
2 x3 + 3 x + 4 = 0 admet au plus trois solutions dans IR.
Ainsi : 7 ( 6 x2 + 3 ) (2 x3 + 3 x + 4 )6 > 0 pour tout x dans IR
sauf au plus pour un nombre fini de valeurs où ce produit s'annule .
On a : f ' est strictement positive sur IR sauf au plus pour un nombre
fini de valeurs où elle s'annule.
Conclusion :
La fonction f est définie et dérivable dans IR.
f ' : x → 7 ( 6 x2 + 3 ) (2 x3 + 3 x + 4 )6
f est strictement croissante sur IR.
-----------------------------------------------------------------------------------------
EXERCICE 2
f: x → √( x2 - 5 x + 1 )
Donner Df , Dd et f ' .
( Etude des variations facultative. )
---------------------------------------------------------------------------------------
REPONSE:
•Soit la fonction polynôme définie et dérivable sur IR
u : x → x2 - 5 x + 1
Δ = b2 - 4 ac
c-à-d
Δ = 25 - 4 = 21 Δ > 0
Les racine de x2 - 5 x + 1
sont : ( - b - √ Δ ) / ( 2 a ) = ( 5 - √21 ) / 2
et ( - b + √ Δ ) / ( 2 a ) = ( 5 +