INFO DV n°5 TS1 6 déc. 2013

                         INFO DV n° 5       TS1    du  6 décembre 2013

       EXERCICE 1 

                 Soit la fonction f :  x →  (   2 x3 + 3 x + 4 )7

                Donner  Df , Dd  et  f ' .

              (  Etude des variations facultative. )

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        REPONSE:

            • Soit la fonction polynôme  u : x → 2 x3 + 3 x + 4 qui est définie et dérivable sur IR.

            • Soit n = 7

              n est un entier naturel non nul.

             On a :    f = un   

             • Ainsi, d'après un résultat de cours, la fonction f est définie et dérivable dans IR 

            et        f ' = ( un  ) ' = n u '    un - 1 

           Ici       u ' :  6 x2 + 3 

                        u ' >  0  sur IR

            Donc :      f ' : x →  7 ( 6 x2 + 3 )  (2 x3 + 3 x + 4 )6

                         2 x3 + 3 x + 4  = 0 admet au plus trois solutions dans IR.

             Ainsi :        7 ( 6 x2 + 3 )  (2 x3 + 3 x + 4 )6  > 0  pour tout x dans IR

                                sauf au plus pour un nombre fini de valeurs où ce produit s'annule .

           On a  :    f '   est strictement positive sur IR sauf au plus  pour un nombre

                           fini de valeurs où elle s'annule.

          Conclusion :

             La fonction f est définie et dérivable dans IR.

             f ' : x →  7 ( 6 x2 + 3 )  (2 x3 + 3 x + 4 )6    

             f est strictement croissante sur IR.

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                   EXERCICE 2

                        f:  x → √( x2  - 5 x +  1 )              

                     Donner  Df , Dd  et  f ' .

              (  Etude des variations facultative. )

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            REPONSE:

        •Soit la fonction polynôme   définie et dérivable sur IR 

                   u : x   x2  - 5 x +  1

                     Δ  = b2 - 4 ac 

             c-à-d

                Δ  =  25 - 4 = 21           Δ  > 0

                Les racine de   x2  - 5 x +  1

                  sont :               ( - b -  √ Δ  ) / ( 2 a ) = ( 5 -  √21  )  /  2

                        et                 ( - b + √ Δ  ) / ( 2 a ) = ( 5 + √21  )  /  2

            Ainsi :              u  > 0   sur  ] - ∞  ,  ( 5 -  √21  )  /  2  [   U   ] ( 5 + √21  )  /  2  ,  +  ∞  [

                  et               u  ≥ 0   sur  ] - ∞  ,  ( 5 -  √21  )  /  2  ]   U   [ ( 5 + √21  )  /  2  ,  +  ∞  [    

           • On a  :    f = √u 

          Donc,  d'après   un résultat de cours ,  f est définie  sur    ] - ∞  ,  ( 5 -  √21  )  /  2  ]   U   [ ( 5 + √21  )  /  2  ,  +  ∞  [ 

           dérivable sur    ] - ∞  ,  ( 5 -  √21  )  /  2  [   U   ] ( 5 + √21  )  /  2  ,  +  ∞  [

                 et     f ' = u ' / ( 2 √ u  )

              On a  u ' : x →   2 x - 5 

             Donc             f ' : x → ( 2 x - 5 ) / ( 2√ (x2  - 5 x +  1 ))

           f ' ( x ) est du signe de 2 x - 5  pour tout x dans   ] - ∞  ,  ( 5 -  √21  )  /  2  [   U   ] ( 5 + √21  )  /  2  ,  +  ∞  [

                   Ainsi :        f ' > 0  sur  ] ( 5 + √21  )  /  2  ,  +  ∞  [

                                        f '  < 0   sur     ] - ∞  ,  ( 5 -  √21  )  /  2  [

               Conclusion:

                     D = f  ] - ∞  ,  ( 5 -  √21  )  /  2  ]   U   [ ( 5 + √21  )  /  2  ,  +  ∞  [

                      D =d   ] - ∞  ,  ( 5 -  √21  )  /  2  [   U   ] ( 5 + √21  )  /  2  ,  +  ∞  [

                     f ' : x → ( 2 x - 5 ) / ( 2√ (x2  - 5 x +  1 ))

                                f  est strictement croissante sur   [ ( 5 + √21  )  /  2  ,  +  ∞  [

                                 f est strictement décroissante sur   ] - ∞  ,  ( 5 -  √21  )  /  2  ]

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        EXERCICE 3      

              Soit la fonction f :  x →  (  x2 + 1 )- 3

                Donner  Df , Dd  et  f ' .

              (  Etude des variations facultative. )

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                   REPONSE :

                 • Soit la fonction polynôme  u : x →  x2 + 1 qui est définie et dérivable 

                       et non nulle sur IR.

                  • Soit n = - 3

                     n est un entier strictement négatif.

                         On  a:      f  = un

                  Donc d'après un résultat  de cours:

                                    f est définie et dérivable dans IR

                        et   l'on a :    f ' = ( un )'    =   n u '   un-1 

                                     u ' : x → 2 x   

                              Donc       f ' : x   →   - 3 ×  ( 2 x ) (    x2 + 1  ) - 4

                                  c-à-d:       f ' : x   →   - 6 x (    x2 + 1  ) - 4     

                              f ' ( x )est du signe de - x pour tout réel x .

             Conclusion :

                         Df = DD = IR

                          f ' : x   →   - 6 x (    x2 + 1  ) - 4     

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