INFO EXERCICE BAC 2004 S Mars 20011
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EXERCICE
On considère la suite ( un ) définie par:
u0 = 1
un + 1 = un + 2 n + 3 pour tout entier naturel n.
1. Etudier la monotonie de la suite ( un ) .
2. Démontrer que pour tout entier naturel n , un > n2 .
3. Conjecturer une expression de un en fonction de n ,
puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.
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Réponse :
1. Soit n un entier naturel quelconque.
On a :
un + 1 = un + 2 n + 3
c-à-d un + 1 - un = 2 n + 3
Or 2 n + 3 > 0
D'où un + 1 - un > 0
Conclusion : La suite ( u ) est croissante sur IN.
2. Montrons par récurrence sur IN que un > n2 .
• Soit n = 0 u0 = 1 et n2 = 0
On a bien 1 > 0
L'inégalité est vraie pour n = 0
• Soit n dans IN quelconque.
Montrons que si un > n2 alors un + 1 > ( n + 1 )2
On sait : un > n2
Donc un + 2 n + 3 > n2 + 2 n + 3
Or un + 1 = un + 2 n + 3
D'où un + 1 > n2 + 2 n +3
c-à-d un + 1 > n2 + 2 n + 1 + 2
c-à-d un + 1 > ( n + 1 )2 + 2
D'où un + 1 > ( n + 1 )2
Conclusion : L'inégalité est prouvée sur IN.
3. Conjecturons un en fonction de n.
n = 0 u0 = 1 = ( 0 + 1 )2
n = 1 u1 = 1+ 3 = 4 = ( 1 + 1 )2
n = 2 u2 = 4 + 2 + 3 = 9 = ( 2 + 1 )2
n = 3 u3 = 9 + 4 +3 = 16 = ( 3 + 1 )2
n = 4 u4 = 16 + 6 +3 = 25 = ( 4 +1 )2
On imagine que un = ( n + 1 )2 pour tout n dans IN.
Démontrons le par récurrence sur IN.
• Pour n = 0 u0 = 1 = ( 0 + 1 )2
• Soit n dans IN quelconque .
Montrons que si un = ( n +1 )2 alors un + 1 = ( n +2 )2 .
On a : un + 1 = un + 2 n + 3
Mais un = ( n +1 )2
Donc un + 1 = ( n +1 )2 + 2 n + 3
c-à-d un + 1 = n 2 + 2 n + 1 + 2 n + 3
c-à-d un + 1 = n 2 + 4 n + 4 = ( n +2 )2 .
c-à-d un + 1 = ( n +2 )2 .
Conclusion: La conjecture est prouvée.
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