INFO EX N°46 pour le 16/04/10

           INFO EX n° 46                 POUR LE VENDREDI 16/04/10                     1S1

      •   EXERCICE 46

               Soit la suite ( v ) définie sur IN par :

                           vn  = √(2 n + 3 )  pour tout n dans IN.

            1. Déterminer la fonction f telle que vn  =  f( n ) pour tout n dans IN.

            2. Etudier le sens de variation de f sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ , en déduire

               le sens de variation de de la suite ( v ).

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        Réponse:

              1. Détermination de la fonction f.

                 Soit n dans IN quelconque.

                  Pour x = n  on a   √( 2 x + 3 ) =  √( 2 n + 3 ) = vn 

                   Conclusion :    On a   vn  =  f( n )  avec   f : x → √( 2 x + 3 ) .

               2. Sens de variationde f.

                    La fonction x →√x est dérivable dans l'intervalle ] 0 , + ∞ [ .

                   Sa fonction dérivée est x  → 1 / ( 2 √x ).

                  Considérons l'ensemble:

                     { x dans IR /   2 x + 3 > 0 } =   { x dans IR /   x > - 3 / 2 } =  ] - 3 / 2 , + ∞ [        

                 Ainsi:    La fonction f est dérivable sur l'intervalle ouvert  ] - 3 / 2 , + ∞ [.

               Soit x >  - 3 / 2.

                On a:

                f ' ( x ) = 2 [   1 / (  2  √( 2 x + 3 ) ] = 1 / √( 2 x + 3 )

               Or    1 / √( 2 x + 3 )> 0     pour tout x dans  ] - 3 / 2 , + ∞ [.

                Ainsi:          f ' > 0    sur  ] - 3 / 2 , + ∞ [.

            Conclusion : La fonction f est donc croissante sur [  - 3 / 2 , + ∞ [.

                  IN est inclus dans l'intervalle [ - 3 / 2 , + ∞ [.

                La restriction de la fonction f  à IN est donc aussi croissante.

               C-à-d la suite ( v ) est croissante sur IN.

        Conclusion : La suite ( v )est croissante sur IN.

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