INFO DV n° 3 TS2 15/11/10

                             INFO     DV n ° 3       à la maison      TS2      pour le  15 / 11 / 10        

       EXERCICE 1

             Le plan est muni d'un repère orthonormal direct d'origine O.

          1. Soit le point A d'affixe z_A = - √3.

              a. Mettre sous la forme algébrique le nombre complexe

                  w = 4 / ( 1 + i √3 )

              Réponse:

              On a :    w = 4 / ( 1 + i √3 )

              Donc   ,   en  multipliant le numérateur et le dénominateur par 1 -  i √3 ,

              on a:        w =  [ 4 ( 1 -  i √3 ) ]  /  | 1 + i √3 |²

             c-à-d       w  =  [ 4 ( 1 -  i √3 ) ]  /  4 = 1 -  i √3

               Conclusion :   w =  1 -  i √3

              b. Déterminer l'ensemble  ( C ) des points M du plan d'affixe z tels que:

                       |  z  + √3  | = 2

              Réponse:

                  On peut dire:

                     |  z  + √3  | = 2   s'écrit   |  z  - ( -  √3 ) | =  2

                    c-à-d      |  z  -   z_A| = 2

                     c-à-d      AM = 2

       Ainsi l'ensemble cherhé est l'ensemble des points M du plan tels que AM = 2

                  Conclusion:  L'ensemble cherché  est donc le cercle ( C )

                                      de centre A(-  √3 ) et de rayon 2.

              c.  Déterminer l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que:

                       | [ ( 1 + i √3 ) / 4 ] z + ( √3 + 3 i  ) / 4  | = 1

                  Réponse:

                      | [ ( 1 + i √3 ) / 4 ] z + ( √3 + 3 i  ) / 4  | = 1

                     s'écrit :       | [ ( 1 + i √3 ) / 4 ] z +  √3 ( 1 +  i √3  ) / 4  | = 1

                     c-à-d    en factorisant  ( 1 + i √3 ) / 4

                                   |  [ ( 1 + i √3 ) / 4 ] ( z +  √3  ) | = 1

                     c-à-d      |  ( 1 + i √3 ) / 4 | × |  z +  √3  | = 1

                     c-à-d     |   z +  √3  | = 1 /   |  ( 1 + i √3 ) / 4 | 

                     c-à-d       |   z +  √3  | =  | 4 / ( 1 + i √3 )  |

                     c-à-d         |   z +  √3  | =  | w |                 

                     c-à-d        |    z +  √3  | =   2    sachant   | w | = |  1 - i √3 | = 2                 

                    Conclusion:  L'ensemble cherché  est donc le cercle

                                      de centre A(-  √3 ) et de rayon 2.

           2. Représenter l'ensemble ( C ).  

           3. Donner la traduction complexe de chacune des transformations suivantes:

                  a. La rotation r de centre Ω( i ) et d'angle   π/ 3 .

                   Réponse:

                        C'est:          z₁ - i  = e^{iπ/ 3}  (  z - i  )

                         avec le point M( z ) d'image le point M₁(  z₁  ) par r.

                  b. L'homothétie h de centre  Ω( i ) et de rapport 1 / 2 .

                        Réponse:

                        C'est :    z' - i = ( 1 / 2 ) (  z₁  -  i )

                         avec le point  M₁ ( z₁ ) d'image le point M' ( z' ) par h.

                  c . La composée  h o r.  

                       Réponse:

                     Considérons    z₁ - i  = e^{iπ/ 3}  (  z - i  ) 

                       D'où                z₁   = e^{iπ/ 3}  (  z - i  )  + i

                      Reportons dans    z' - i = ( 1 / 2 ) ( z₁ - i )

                      Il vient :      z' - i = ( 1 / 2 ) ( e^{iπ/ 3}  (  z - i  )  + i  - i )

                          c-à-d         z' =   ( 1 / 2 )   e^{iπ/ 3}  (  z - i  )   + i

                         c-à-d     z'  =  ( 1 / 2 )  ( ( 1 / 2)  + i  (  √3 / 2 ) ) (  z - i  )   + i

                        c-à-d      z'  =  ( 1 / 4 ) ( 1 + i √3  ) ( z - i ) + i

                        c-à-d        z'  =  ( 1 / 4 ) ( 1 + i √3  ) z  - i  ( 1 / 4 ) ( 1 + i √3  ) + 4i / 4

                        c-à-d      z'  =  ( 1 / 4 ) ( 1 + i √3  ) z   + ( 1 / 4 ) ( - i +  √3  ) + 4i / 4

                        c-à-d      z'  =  ( 1 / 4 ) ( 1 + i √3  ) z   + ( 1 / 4 ) ( - i + 4 i +  √3  )

                        Conclusion :      z'  =  ( 1 / 4 ) ( 1 + i √3  ) z   + ( 1 / 4 ) ( 3 i + √3  )

                                              avec le point M ( z )  d'image le point M' ( z' ) par hor.

            4.    Quel est l'ensemble des points M du plan , d'affixe z, dont l'image M ' 

                   par  h o r  est telle que OM ' = 1 ? 

                  Réponse :

                               OM ' = 1 se traduit par :

                               | z ' | = 1                     

                        c-à-d    sachant que  z'  =  ( 1 / 4 ) ( 1 + i √3  ) z   + ( 1 / 4 ) ( 3 i +  √3  )

                             |  ( 1 / 4 ) ( 1 + i √3  ) z   + ( 1 / 4 ) ( 3 i + √3  ) | = 1

                        On retrouve l'égalité de la question 2.

                       La conclusion est donc identique.

                         Conclusion :   C'est le cercle ( C ) de centre A( -  √3 ) et de rayon 2.  

------------------------------------------------------------------------------------------

          EXERCICE 2

                     Le plan est muni d'un repère orthonormal direct d'origine O.

                     On considère l'application f du plan dans le plan qui associe

                     à tout point M du plan, d'affixe z,  le point M ' d'affixe z '  avec

               1. a. Montrer que l'ensemble , noté Inv( f ) , des points M du plan

                        tels que M = M ' est une droite D ?

                     Réponse:

                         M = M'   se traduit par z = z'

                         c-à-d   

                      Posons z = x + i y  .

                      M = M '    s' écrit       x + i y = i ( x - i y ) + 1 - i

                                    c-à-d       x + i y =  i x - i² y + 1  - i

                                     c-à-d        x + i y =  i x +  y + 1  - i     sachant - i² = 1

                                    c-à-d     x    + i  y   =   y + 1  + i ( x - 1 )

                                     c-à-d             x =  y + 1   ( Egalité des parties réelles )

                                                     et   y = x - 1   ( Egalité des parties imaginaires )

                                  c-à-d    y = x - 1

                     Conclusion :  Inv( f ) est la droite D : y = x - 1

                   b. Représenter D.

                   c. Montrer que l'isobarycentre des points M et M ' appartient à D.

                      Réponse:

                      L'isobarycentre G des points M et M' a pour affixe ( z + z' ) / 2.

                      On a :   (  z + z' ) / 2  = ( x + i y + i ( x - i y ) + 1 - i ) / 2

                       c-à-d     (  z + z' ) / 2  = ( x + i y + i  x - i² y  + 1 - i ) / 2

                       c-à-d      (  z + z' ) / 2  = ( x + i y + i  x + y  + 1 - i ) / 2

                      c-à-d     (  z + z' ) / 2  = [ ( x  + y + 1 ) + i ( y + x  - 1 ) ] / 2

                      c-à-d       (  z + z' ) / 2  = ( x  + y + 1 ) / 2 + i ( y + x  - 1 ) / 2

                     On a le point G( ( x  + y + 1 ) / 2   ;  ( y + x  - 1 ) / 2  )

                     Or       ( x  + y + 1 ) / 2  - 1 =  ( x  + y + 1- 2 ) / 2  = ( y + x  - 1 ) / 2

                     Ainsi:

        Conclusion : L'isobarycentre G des points M et M' est sur la droite D : y = x - 1

                   d. Montrer que le vecteur est soit le vecteur nul

                       soit un vecteur normal à D.

                            • Si M est sur D alors on a M = M'  . Donc  le vecteur  _.est nul

                            • Si M n'est pas sur D alors  M et M ' sont distinct.

                              Le vecteur   est non nul .

                              son affixe est:      z' - z =  i( x - i y ) + 1 - i - ( x + i y )

                               c-à-d      z' - z =  ix - i² y  + 1 - i - x - i y

                              c-à-d      z' - z =  ix + y  + 1 - i - x - i y

                              c-à-d      z' - z =  y  + 1 - x + i ( x - 1  -  y )

                               Le vecteur   a pour cordonnées :  (  y  + 1 - x ;  - y - 1 + x )

                                Le vecteur vect( v ) de coordonnées ( 1 , 1 ) est

                                un vecteur directeur de la droite D : y = x - 1

                                  . vect ( v )  = ( y  + 1 - x ) × 1 + (  - y - 1 + x )× 1  = 0

                             Le vecteur est bien dans ce cas un vecteur normal à la droite D.

                    Conclusion:   On a bien le résultat demandé.

               2 . Que pouvez- vous dire de f ?

                      C'est la réflexion d'axe D: y = x -  1

                    Illustration:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                  EXERCICE 3

                    Soit deux vecteurs vect( W ) et vect( W ' ) d'affixes respectives

                      z = x + i y  et z ' = x ' + i y '.    

                1. Etablir que : 

                       ( Traduction complexe du produit scalaire non exigible dans le programme)

                   Réponse:

                      Soit les nombres complexes :           z = x + i y     et z ' = x ' + i y '

                     On a :      

                     Considérons :                ( x + i y ) ( x' - i y'  ) =    x x ' - i² y y ' + i y x' - i  x y '

                    c-à-d                ( x + i y ) ( x' - i y'  ) =   x x ' + y y ' + i ( y x' -   x y ' )

                    Donc                Re(   ( x + i y ) ( x' - i y'  ) ) =   x x ' + y y '

                        Conclusion:        

               2. Quelle condition, à l'aide des affixes,  traduit l'orthogonalité des vecteurs

                    vect( W ) et vect( W ' ) ?

                         Conclusion:      

              3. Soit les vecteurs :      

                  a. Calculer :   Re( ( 5 - 2 i ) ( 2 - 5i ) )

                       Réponse :   Re( ( 5 - 2 i ) ( 2 - 5i ) ) = 10 - 10 = 0

                  b. Les deux vecteurs sont-ils orthogonaux?

                      Réponse : OUI

             4. Soit deux vecteurs vect( v ) et   vect( v ' ) d'affixes

                respectivement   z = 3 e^{iπ / 3}    et     z ' = 2 e^{5iπ / 6}  

                Sont-ils orthogonaux?

                     Réponse : OUI

                          En effet :   

                    Or

     3 e^{iπ / 3}  × 2 ^{_e- 5iπ / 6}    = 6 e^{- 3iπ / 6}   = 6 e^{- iπ / 2}  = 6 ( - i ) =  0   - 6 i

            Ainsi:                Re(  3 e^{iπ / 3}  × 2 ^{_e- 5iπ / 6}   ) =  0                                                 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------