INFO EX2 BAC JUIN 2011

                               COMMENTAIRE        EX 2      QCM     S                       JUIN 2011  

             EX  2                 4 POINTS

                     Réponses:   Aucune justification n'était demandée.

                            1 .     Réponse   2

                            2.      Réponse    4

                            3.      Réponse    2

                            4.      Réponse    3                         

                                                 

                                                    r rotation de centre A et d'angle π / 3

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

          Explications complémentaires:

          1. La rotation r  est  de traduction complexe:    z '  - zA  = eiπ / 3   ( z -  zA  )

                avec le point M( z ) d'image M ' ( z ' ).

                 Comme     zA = 1   ,    eiπ / 3   =  0,5 + i 0,5 √3   ,   r(  D ) = E   et   D( - i )

                 on a :       zE   - 1 = ( 0,5 + i 0,5 √3 ) (  - i - 1 )

                 c-à-d          zE  = ( 0,5 + i 0,5 √3 ) (  - i - 1 ) + 1

                 c-à -d         zE  =  - 0,5 - i 0,5 √3 - 0,5 i  - 0,5 √3   + 1

                 c-à -d         zE  =  0,5 - i 0,5 √3 -  i 0,5   + 0,5 √3                sachant    = - 1

                c-à-d         en factorisant - i

                                   zE  = 0,5  + 0,5 √3  - i ( 0,5 √3 + 0,5 )

               c-à-d     en factorisant  0,5  + 0,5 √3

                   Conclusion :  zE  = [ 0,5  + 0,5 √3 ] ( 1 - i )

                2.   Soit le point M( z ) , l'égalité | z + i | = | z - 1 |

                      s'écrit :        | z - ( -  i ) | = | z - 1 |      

                      c-à-d             | z -  zD  | = | z -  zA  |          comme  zA   = 1  et  zD  = - i 

                  ce qui se traduit géométriquement par :

                                     MD = MA

                   Or  l'ensemble { M de P   /   MD = MA  }  est la médiatrice du segment [AD]

                 Donc :    

                              Conclusion : L'ensemble cherché est la médiatrice de [AD] 

                  3.     ( z + i ) /  ( z -1 )   imaginaire pur  a deux interprétations possibles

                        suivant que 0 soit accepté ou refusé.

                          ( En général les énoncés le précisent !....

                           C'est une maladresse de l'énoncé que de ne pas le dire)

                       Ici , vues les réponses proposées , 0 est accepté comme imaginaire pur.

                      On considère donc      ( z - ( - i ) ) /  ( z - 1 )  dans    i IR

                      c-à-d              ( z -  zD   ) /  ( z -  zC   )  dans    i IR

                   c-à-d      [   z  ≠    zC   et      z    ≠    zD   et  arg(  ( z -  zD   ) /  ( z -  zC   ) ) = π / 2   ( π )   ] 

                                  ou    z    =   zD  

                    c-à-d      les vecteurs  vect( MD ) et vect( MC ) sont non nuls et orthogonaux

                                 ou   M = D

                 c-à-d      M est sur le cercle de diamètre [ CD ] privé de C et D

                               ou M = D

               c-à-d     

                            Conclusion : L'ensemble cherché est le  cercle de diamètre [CD] privé du point C

      4.        arg( z - i ) = - π / 2   + 2k π    avec k dans les entiers relatifs

                  est mis pour:

                     z  ≠  zB   et   arg ( z -  zB  )   = - π / 2   ( 2 π ) 

                 c-à-d  

                         M ≠ B  et    ( vect( u ) , vect( BM) ) =   - π / 2   ( 2 π ) 

           c-à-d          comme ( vect( u ) ,  vect( BD) ) =   - π / 2   ( 2 π ) 

                           M est sur la demi droite [ B D)  privée du point B. 

                     Conclusion : L'ensemble cherché est la demi droite [ BD) privée de B        

                               ou encore la demi droite ] BD).

                    Mais à ce moment là on ne reprécise pas que B est retiré

                    puisque le crochet est ouvert du côté de B  !.......

                   Ce qui est une maladresse de l'énoncé surtout pour un QCM.

--------------------------------------------------------------------------------------------