INFO EX 5 Feuille d'ex sur les suites 8 Sept. 2012 TS

 

                                      INFO EX 5       Feuille d'ex sur les suites     Sept. 2012   TS

 

            EXERCICE 5 

                                          Fait en classe le mardi 11 sept 2012

                       Soit (  u) la  suite définie par :

                                                         un  = ( 4 n - 1 ) / ( 2 n - 9 )   pour tout n dans IN

                    1. Trouver deux réels a et b tels que

                                       un  = a  +  b  / ( 2 n - 9 )   pour tout n dans IN

                     2. Donner son sens de variation sur [[ 5 , + ∞ [ 

                        c-à-d  sur les entiers supérieurs ou égaux à 5.

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              REPONSE                    Commencé en classe le 10 sept 2012

           1. Trouvons les réels a et b.

                 •Première méthode.

               Soit n dans IN quelconque.

                  On a :         un  = ( 4 n - 1 ) / ( 2 n - 9 ) 

                  c-à-d           un  = ( 4 n - 18 + 18  - 1 ) / ( 2 n - 9 )   

                 c-à-d                un  = ( 4 n - 18 + 17 ) / ( 2 n - 9 )   

                 c-à-d            un  = ( 2 ( 2 n - 9  ) + 17 ) / ( 2 n - 9   

                 c-à-d             un  =  2 +  17  / ( 2 n - 9 )    

                   Conclusion :      a = 2   et   b = 17    

              •Seconde méthode : La division                     

     4 n - 1           |   2 n - 9
- ( 4 n - 18) |  2
            17 |
  |
  |

                   Donc             4 n - 1  = 2 ( 2 n - 9 ) + 17 

                    c-à-d            ( 4 n - 1 ) / ( 2 n - 9 ) = 2  + 17 / ( 2n - 9 )   pour tout n dans IN

                   c-à-d              u= 2  + 17 / ( 2n - 9 )   pour tout n dans IN

         Conclusion :      a = 2   et   b = 17  

       2. Donnons le sens de variation de la suite ( un ) à partir du rang 5.    

               Soit la fonction f : x → 2  + 17 / ( 2x - 9 )   associée à la suite

                f est une fonction rationnelle définie et dérivable sur IR - { 9 / 2} .

               On peut utiliser la formule  ( 1 / u ) ' = - u ' / u2    

                avec u :  x → 2 x - 9    et   u' :  x → 2

                 f = 2 + 17 ( 1 / u )      sur IR - { 9 / 2}

                  Il vient :

                f ' : x 17  ( - 2  / ( 2x - 9 )2  )

          c-à-d 

                  f ' : x  →  -  34  / ( 2x - 9 )2    

                 Pour tout x dans IR - { 9 / 2} ,    f'(x ) est du signe de - 34.

                 Donc   f ' < 0  sur IR - { 9 / 2}

                 f est donc décroissante sur les intervalles de IR - { 9 / 2}.

                 [[  5 , + [   est inclus dans ] 4,5 ; + ∞ [

               La restriction de f à [[  5, + [  est donc décroissante.

               Conclusion : La suite ( un ) est donc décroissante bien à partir du rang 5.

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