INITIATION AUX V.A.R BTS1

INITIATION  AUX VARIABLES ALEATOIRES REELLES  DICRETES       BTS 1    Janv. 09

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      •  Définition. Toute application de l'univers des possibles Ω , d'une expérience aléatoire,

                           dans IR est une variable aléatoire réelle définie dans Ω.

      • EX.  Un joueur lance deux dés successivement dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

                Il gagne la somme des deux chiffres en euros.

                L'univers des possibles Ω est l'ensembles des 36 couples ( a , b ) où a et b sont dans

                l'ensemble { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } .

                 L'application X de Ω  dans IR qui à chaque couple ( a , b )  de Ω associe a + b

                est une variable aléatoire définie dans Ω.

               Ici  X(  Ω ) = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6  , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 ,12 }

                     X(  Ω )  est appelé " univers image".

               On note ( X = 2 ) l'événement " La somme des chiffres est 2 "

                               etc

                           ( X = 12 ) " la somme des chiffres est 12."

             Tous ces événements sont des parties de  Ω , qui sont non vides , disjointes deux à

             deux et de réunion Ω. On parle de partition de Ω.

         •  Quand  on peut indexer sur IN les valeurs d'une v.a.r on dit qu'elle est discrète.

         • Quand on a une v.a.r. discrète on s'intéresse à sa loi de probabilité.

           c'est un tableau    :

x  x1 .... .... xN
P( X = x ) P( X = x1) ... .. P( X = xN)

               Si x1    ,  ....         ,  xN    sont    les valeurs de X .

         • Quand on a une v.a.r. discrète on s'intéresse à son espérance notée E( X ) .

           E( X ) =   xP( X = x1) + .......+ xN  P( X = xN)

            C'est la valeur que l'on peut espérer pour X.

         • Quand on a une v.a.r. discrète on s'intéresse à la variance V( X )

            C'est :  V( X ) =  E( X ² ) - ( E ( X )  ) ²

          c-à-d       V( X )  = x   P( X = x1)  + ......... +  x   P( X = x2)   -( E( X ) )²

          C'est un paramètre de dispersion.

          • Quand on a une v.a.r. discrète on s'intéresse à l' écart type.

                      C'est la racine carrée de la variance.

                       σ( x )   =  √( V( X ) )

                Plus     σ( x )    est grand  moins on peut faire confiance à l'espérance.

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          • EXERCICE 1 .          A CHERCHER

               Un joueur lance deux dés successivement dont les faces sont numérotées de 1 à 6.            

                Il gagne la somme des deux chiffres en euros.

                L'univers des possibles Ω est l'ensembles des 36 couples ( a , b ) où a et b sont dans

                l'ensemble { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } .

                 Soit X l'application  de Ω  dans IR qui à chaque couple ( a , b )  de Ω associe a + b .

                  X(  Ω ) = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6  , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 ,12 }

                  1. Trouver la loi de probabilité de la v.a.r discrète X .

                  2. Trouver E( X ) l'espérance de X.

                 3 . Trouver la variance V( X ).

                 4. Trouver l'écart type σ( x )  .

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              •EXERCICE 2 .    A CHERCHER

                     Dans une fête foraine un stand propose de faire tourner une roue comportant

           10 secteurs égaux; 3 secteurs rouge ; 4 secteurs jaunes ; 3 secteurs verts. 

          • Si le joueur obtient le secteur rouge alors il gagne 16 euros.

          •  Si le joueur obtient le secteur jaune alors il perd 1 2  euros.

          •  Si le joueur obtient le secteur vert alors  il fait de nouveau tourner la roue.

                        • •     Si le joueur obtient le secteur rouge alors il gagne 8 euros.

                        • •     Si le joueur obtient le secteur jaune alors il perd  2  euros.

                        • •    Si le joueur obtient le secteur vert alors  il ne perd rien et ne gagne rien.

                  Soit X le gain algébrique du joueur.

                1. Donner la loi de probabilité de X.

                2. Donner l'espérance de X.

                    ( On commencera  par faire un arbre pondéré.)

               3. Quel devrait être le montant à faire payer par le joueur pour que le jeu soit équitable?

               4. Trouver l'écart-type de X.

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