INFOPROJET D'INTEGRATION 6/9/1

                         INFO   PROJET D' INTEGRATION    BTS1           6 septembre 2010 

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       •    PARTIE I.                                                Le plan est muni d’un repère orthogonal.

         Soit ( C ) la courbe de la fonction numérique  f  sur l’ensemble des réels strictement positifs.

         On admet que la fonction   f est :

               f : x  →  ( ln( x ) - ln( x0 ) ) ( 10 / ln( 10 ) )

                            où   x0  est un paramètre.

   1. Résoudre  dans l’ensemble des réels strictement positifs l’équation :      

                      f ( x ) = 60

           Réponse:

        Soit x > 0 .

        Considérons :     ( ln( x ) - ln( x0 ) ) ( 10 / ln( 10 ) ) = 60

       Simplifions par 10.

        On a :             ln( x / x0  )    / ln( 10 ) = 6

      c-à-d                 ln( x / x0  )   = 6 ln( 10 )

       c-à-d                ln( x / x0  )   = ln( 106 )

        c-à-d             x / x0    = 106

      c-à-d               x =  106  x0    

            L' ensemble solution est :   {  106  x0  }

               (On donnera la solution en fonction de x et d’une puissance de 10. )

           Rappel :      Soit a > 0  et   b > 0    n un entier.

                               ln(ab) = ln( a ) + ln( b )

                               ln( a / b ) = ln( a ) – ln( b )

                               ln( an ) = n ln( a ) 

   2. Trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f.

        Donner le signe de f ' ( x ) suivant x dans l’ensemble

        des réels strictement positifs.

                Rappel :    ln' , sur l’ensemble des réels strictement positifs, est

                                   la fonction inverse. 

         Réponse:

          Comme la fonction ln est définie et dérivable sur l'ensemble des réels strictement positifs

          f   l'est aussi.

         Soit x > 0

         On a :    f ' ( x ) = ln ' ( x )  ×(    10 / ln 10 )  

                      ATTENTION:   - ln x   ne dépend pas de x

                       La fonction dérivée de x → ln( x ) -  ln ( x0 )  est   x → 1 / x   

      Ainsi:        f '( x )  = (  1 / x  )  ×(    10 / ln 10 )

          Il est clair que 10 / ln( 10  ) > 0

          Donc : 

              f ' ( x ) > 0   pour tout réel strictement positif x.

            Conclusion : 

                   f '( x )  = (  1 / x  )  ×(   10 / ln 10 )   quand x >  0

                     f ' ( x ) > 0    quand  x > 0

   3. En déduire le sens de variation de la fonction f .

        ( On pourra donner son tableau de variation. )

           Réponse:

              Comme f ' > 0 sur l'intervalle ] 0 , +∞ [ , f est strictement croissante sur  ] 0 , +∞ [.

                    Conclusion : 

                    f est strictement croissante sur  ] 0 , +∞ [.           

 4. Faire un tableau pour indiquer les valeurs de  f( x ) quand

        x vaut :

           10 x0  ;  104  x0    ;   107  x0          ;   108  x0         ;  109  x0      ;   1011  x0       ;

          ;  1012  x0     ; 1017  x0       .

        Pour   x = 10- 2    représenter la courbe de f            

    x

    f( x )
  10 x0        10
104  x0           40
107  x0                 70
108  x0                 80
109  x0             90
 1011  x0               110
1012  x0             120
1017  x0              170

 On a :     f( x  ) = ( 1 0 / ln( 10 ) )  ln ( x / x0 )   quand x > 0

 Donc      f( 10 x0 ) =  ( 1 0 / ln( 10 ) )  ln ( 10     x0   /  x0    ) =  ( 1 0 / ln( 10 ) ln ( 10  ) = 10

De même  f( 104  x0   ) =  ( 1 0 / ln( 10 ) )  ln ( 104    x0   /  x0    )  

  c-à-d        f( 104  x0   ) = (  1 0 / ln( 10 ) ) ln(  1 04 )   =   ( 1 0 /  ln( 10 ) ) × 4  ln ( 10 )  = 40

       Par analogie on peut compléter le tableau.  

         Dans le cas où  :    x0  = 10-2            on a :  f( x ) = ( 10 / ln ( 10 ) ) ln ( 100 x )

               La courbe dans ce cas est :                                                                                            

                                                                                                  

    5. Soit a > 0  et  b > 0 .

        Montrer que   f( b ) – f( a ) = ( 10 / ln( 10 ) ) ( ln( b ) - ln( a ) )

           (  Ce qui se note aussi :      f( b ) – f( a )  = 10 log( b / a )  

                                                      log étant le logarithme décimal.)

        Réponse:        

    On a :

                   f ( b ) =   ( ln( b ) - ln( x0 ) ) ( 10 / ln( 10 ) )

                  f( a )  =    ( ln( a ) - ln( x0 ) ) ( 10 / ln( 10 ) )

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   Par différence:     f( b ) – f( a ) =  ( 10 / ln( 10 ) ) [   ln( b ) - ln( x0 ) - ( ln( a ) - ln( x0 ) ]

       Donc                  f( b ) – f( a ) =  ( 10 / ln( 10 ) ) [   ln( b ) - lna   ]

           Conclusion :          f( b ) – f( a ) = ( 10 / ln( 10 ) ) ( ln( b ) - ln( a ) )

     6. Soit a > 0  et  b > 0  tels que  b = 2 a.

             Que vaut :      f( b ) – f( a ) ?

             Cette différence dépend - t- elle, dans ce cas, des valeurs de a  et  b ?

        Réponse :

          On a :       f( b ) – f( a ) =  ( 10 / ln( 10 ) )   ln( b / a )   

         Donc ici :    pour b = 2 a   ,      f( b ) – f( a ) = ( 10 / ln( 10 ) )   ln( 2a / a ) =  ( 10 / ln( 10 ) )  ln( 2 )

               Conclusion :   pour  b = 2 a           f( b ) – f( a ) = ( 10 / ln( 10 ) ) ln(2 )

             La différence ne dépend alors ni de a  ni de b.

   7. Soit a > 0  et  b > 0  tels que  b = 10 a.

                         A-t-on  :      f( b ) -  f( a )  = 10 ?

                         A-t-on  :      f( b ) = 10 f( a )   ?

         ( Cette constatation a permis de dire que si l’intensité d’un son

            est multipliée par 10  le niveau sonore ne l’est pas.)

           Réponse:  

                       Soit          b = 10 a

                       On a :       f( b ) – f( a ) =  ( 10 / ln( 10 ) )   ln( b / a )   

                      Donc        f( b ) – f( a ) =  ( 10 / ln( 10 ) )   ln( 10  a / a )  =  ( 10 / ln( 10 ) )   ln( 10 ) = 10

                    Conclusion :   pour  b = 10 a           f( b ) – f( a ) = 10

                     Ainsi  :    f( b ) =  10 + f( a )     et     f( b ) ≠   10 f( a )

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 •    PARTIE 2     SON  ET SUITE NUMERIQUE        ( Extrait d’ex. bac )        

                       L’unité d’intensité du son est le décibel ( symbole dB ).

                      Une source sonore émet un son de 100 dB.

             Soit un  avec n entier naturel , l’intensité du son mesurée

             après la traversée de n plaques d’isolation phonique.

             On admet que chaque plaque absorbe 10%  de l’intensité du son

             qui la frappe.

          1.      On sait que  u0   = 100 .

                    Calculer   u1 , u2  , u3 .

                 Réponse:

                 1.  On a :            u1  = 100 × 0,9 =   90

                                          u2  = 0,9 ×  u1  =    81

                                         u3  = 0,9 ×  u2  =  72,9

          2.      Trouver une relation entre  un + 1   et  un .

                    En déduire la nature de la suite ( u ) .

                    Réponse: 

                      On a :     un + 1  = 0,9 ×  un    pour tout n dans IN.

                       Conclusion :         La suite ( u ) géométrique de raison q = 0,9  .

         3.      Exprimer un en fonction de n .

                 Réponse:

                     On a :      un   = u0  ×   qn       pour tout n dans IN.

                     Conclusion :             un   = 100  ×   0, 9n        pour tout n dans IN.

        4.      A l’aide de la calculatrice trouver le plus petit entier naturel n

               tel que un  soit inférieur à 1 décibel.

               Réponse:

                    Imposons        un    < 1

                         c-à-d          100  ×   0, 9n     < 1  

                         c-à-d             0, 9n     < 10 - 2      car ln est strictement croissante sur IR*+

                         c-à-d        n  ln 0, 9     <  ln   10 - 2  

                         Donc             n  >  ( ln 10 - 2  ) / ln 0, 9     car  ln 0, 9  < 0

                            Or       ( ln 10 - 2  ) / ln 0, 9   ≈  43,7

                Donc le plus petit entier n tel que    un    < 1  est    n = 44

                Conclusion :  n = 44

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  •    PARTIE 3.             STAT. ET  RAP

        Le tableau ci-dessous récapitule la durée, en minutes, d’émission de musique rap

         d’une station de radio pendant 10 ans.

Année

2001

2002

2003

2004

2005

Rang  xi 

1

2

3

4

5

Durée en mn  yi 

20

21,5

23,1

28

31,4

 

Année

2006

2007

2008

2009

2010

Rang     xi

6

7

8

9

10

Durée en mn    yi

32,4

35

37,4

39,5

42

                                                                                                                                                    

    1.  Représenter dans un repère orthogonal, le nuage de points de cette série

         statistique à deux variables x et y.                                                                                                           

             ( unités : 1 cm pour un an en abscisse

                            1 cm pour 2 minutes en ordonnée  )

                  

     2.  Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série.

          Placer le point moyen G sur le graphique.     

               La moyenne arithmétique des xest :  5,5.

                 (  1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 ) / 10 = 5,5

               La moyenne  arithmétique des yest :  31,03 environ. 

           (  20 + 21,5 + 23,1 + 28 + 31,4 + 32,4 + 35 + 37,4 + 39,5 + 42 ) / 10   ≈ 31,03

              Voir sur le graphique.

                     Conclusion :        G( 5,5   ; 31,03 )     

     3.  Placer sur le graphique le point A( 0 ; 16 ). 

                            

     4.   Donner l’équation réduite de la droite ( AG ).  

                  d est la droite ( A G ) .

                   A a pour ordonnée 16.

                  Donc 16 est déja l'ordonnée à l'origine de ( d ) .

                  Son cœfficient directeur est environ  ;         [ (  31,03 - 16 ) / 5,5 ]

                 L'équation réduite de ( d ) est donc :   

                     y =[ (  31,03 - 16 ) / 5,5 ]  x + 16

                 c-à-d    y ≈  2,73 x + 16      ( équation approchée )

                  Conclusion :    Equation réduite approchée de ( AG ) :    y ≈  2,73 x + 16  

     5.   La droite ( AG ), notée d , vous paraît-elle constituer une bonne

           droite d’ajustement du nuage ? ( Expliquer )

                       Les points sont à proximité de d.

                    Conclusion :  OUI.  Le nuage est allongé et les points sont proches de d.     

     6.  a. Avec cette droite d’ajustement d, estimer la durée des

              d'émission de rap en 2011 .

                                  d est la droite ( A G ):    y ≈ 2,73 x + 16

                                   Donc pour  x = 11      on a    y ≈ 46,03

            Conclusion :  En 2011 on peut estimer qu'il y aura 46 mn de rap  environ.

      b. Calculer l’année à partir de laquelle la durée d'émission de rap

                dépassera  57 mn.

                  Imposons  pour cela:      2 , 73 x + 16  > 57

                        c-à-d                     2,73 x > 57 - 16

                       c-à-d                       2,73 x > 41

                       c-à-d                      x > 15,018

                  Le plus petit entier x tel que   x > 15,018

                est  x = 16 . cela correspond à l'année 2016.

                 Conclusion :   En 2016 la durée dépassera 57 mn pour la première fois.

            c. Retrouver graphiquement les résultats de la question 6.a.

                 • On considère 11 sur l'axe des abscisses. On monte verticalement jusqu'à ( d .) 

                   On lit sur l'axe des ordonnées , l'ordonnée du point obtenu.

                • On considère  57 sur l'axe des ordonnées on se déplace horizontalement

                  jusqu'à ( d ) , puis on lit l'abscisse α du point obtenue.

                On regarde quel est la plus petit entier x qui  est supérieur ou égal à  α.

                On convertit en année.

       7.   Trouver les points moyens G’ et G’’ des sous nuages

              formés à partir des deux tableaux.

              a.  Donner les coordonnées des points G’ et G’’.

                 Pour le premier sous nuage de 5 points le point moyen est:    G ' ( 3 ; 24,8  )             

                 ( 1+2+3+4+5 ) / 5  = 3

                  (  20 + 21,5 + 23,1 + 28 + 31,4 ) / 5   ≈  24,8

              Pour le second sous nuage de 5 points le point moyen est:     G '' ( 8 ; 37, 26 )

              b. Trouver l'équation réduite de la droite de MAYER

                   ( G’G’’ ). 

                Le cœfficient directeur de ( G' G '' ) est le quotient:

                            ( 37,26 - 24,8 ) / (  8 - 3 ) ≈ 2,492

                           En utilisant le point G ' ( 3 ; 24,8 ) dont les coordonnées vérifient

                          y  ≈ 2,492 x + b  on obtient une équation approchée de la droite ( G ' G '' ).

                 L'équation approchée de ( G ' G '' ) est:    y = 2,492 x + 17,324

                  Reprendre la question  6.a.

                  Pour x = 11 on a, en reportant dans l'équation de la droite ( G' G '' ) :  y ≈ 44,736

             Conclusion :  En 2011 on peut espérer 44,7 mn de rap