INFOPROJET D'INTEGRATION 6/9/1

                         INFO   PROJET D' INTEGRATION    BTS1           6 septembre 2010 

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       •    PARTIE I.                                                Le plan est muni d’un repère orthogonal.

         Soit ( C ) la courbe de la fonction numérique  f  sur l’ensemble des réels strictement positifs.

         On admet que la fonction   f est :

               f : x  →  ( ln( x ) - ln( x₀ ) ) ( 10 / ln( 10 ) )

                            où   x₀  est un paramètre.

   1. Résoudre  dans l’ensemble des réels strictement positifs l’équation :      

                      f ( x ) = 60

           Réponse:

        Soit x > 0 .

        Considérons :     ( ln( x ) - ln( x₀ ) ) ( 10 / ln( 10 ) ) = 60

       Simplifions par 10.

        On a :             ln( x / x₀  )    / ln( 10 ) = 6

      c-à-d                 ln( x / x₀  )   = 6 ln( 10 )

       c-à-d                ln( x / x₀  )   = ln( 10⁶ )

        c-à-d             x / x₀    = 10⁶

      c-à-d               x =  10⁶  x₀    

            L' ensemble solution est :   {  10⁶  x₀  }

               (On donnera la solution en fonction de x₀  et d’une puissance de 10. )

           Rappel :      Soit a > 0  et   b > 0    n un entier.

                               ln(ab) = ln( a ) + ln( b )

                               ln( a / b ) = ln( a ) – ln( b )

                               ln( aⁿ ) = n ln( a ) 

   2. Trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f.

        Donner le signe de f ' ( x ) suivant x dans l’ensemble

        des réels strictement positifs.

                Rappel :    ln' , sur l’ensemble des réels strictement positifs, est

                                   la fonction inverse. 

         Réponse:

          Comme la fonction ln est définie et dérivable sur l'ensemble des réels strictement positifs

          f   l'est aussi.

         Soit x > 0

         On a :    f ' ( x ) = ln ' ( x )  ×(    10 / ln 10 )  

                      ATTENTION:   - ln x₀    ne dépend pas de x

                       La fonction dérivée de x → ln( x ) -  ln ( x₀ )  est   x → 1 / x   

      Ainsi:        f '( x )  = (  1 / x  )  ×(    10 / ln 10 )

          Il est clair que 10 / ln( 10  ) > 0

          Donc : 

              f ' ( x ) > 0   pour tout réel strictement positif x.

            Conclusion : 

                   f '( x )  = (  1 / x  )  ×(   10 / ln 10 )   quand x >  0

                     f ' ( x ) > 0    quand  x > 0

   3. En déduire le sens de variation de la fonction f .

        ( On pourra donner son tableau de variation. )

           Réponse:

              Comme f ' > 0 sur l'intervalle ] 0 , +∞ [ , f est strictement croissante sur  ] 0 , +∞ [.

                    Conclusion : 

                    f est strictement croissante sur  ] 0 , +∞ [.           

 4. Faire un tableau pour indiquer les valeurs de  f( x ) quand

        x vaut :

           10 x₀  ;  10⁴  x₀    ;   10⁷  x₀          ;   10⁸  x₀         ;  10⁹  x₀      ;   10¹¹  x₀       ;

          ;  10¹²  x₀     ; 10¹⁷  x₀       .

        Pour   x = 10^{- 2}    représenter la courbe de f .             

 On a :     f( x  ) = ( 1 0 / ln( 10 ) )  ln ( x / x₀ )   quand x > 0

 Donc      f( 10 x₀ ) =  ( 1 0 / ln( 10 ) )  ln ( 10     x₀   /  x₀    ) =  ( 1 0 / ln( 10 ) )  ln ( 10  ) = 10

De même  f( 10⁴  x₀   ) =  ( 1 0 / ln( 10 ) )  ln ( 10⁴    x₀   /  x₀    )  

  c-à-d        f( 10⁴  x₀   ) = (  1 0 / ln( 10 ) ) ln(  1 0⁴ )   =   ( 1 0 /  ln( 10 ) ) × 4  ln ( 10 )  = 40

       Par analogie on peut compléter le tableau.  

         Dans le cas où  :    x₀  = 10^-2            on a :  f( x ) = ( 10 / ln ( 10 ) ) ln ( 100 x )

               La courbe dans ce cas est :                                                                                            

    5. Soit a > 0  et  b > 0 .

        Montrer que   f( b ) – f( a ) = ( 10 / ln( 10 ) ) ( ln( b ) - ln( a ) )

           (  Ce qui se note aussi :      f( b ) – f( a )  = 10 log( b / a )  

                                                      log étant le logarithme décimal.)

        Réponse:        

    On a :

                   f ( b ) =   ( ln( b ) - ln( x₀ ) ) ( 10 / ln( 10 ) )

                  f( a )  =    ( ln( a ) - ln( x₀ ) ) ( 10 / ln( 10 ) )

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   Par différence:     f( b ) – f( a ) =  ( 10 / ln( 10 ) ) [   ln( b ) - ln( x₀ ) - ( ln( a ) - ln( x₀ ) ]

       Donc                  f( b ) – f( a ) =  ( 10 / ln( 10 ) ) [   ln( b ) - lna   ]

           Conclusion :          f( b ) – f( a ) = ( 10 / ln( 10 ) ) ( ln( b ) - ln( a ) )

     6. Soit a > 0  et  b > 0  tels que  b = 2 a.

             Que vaut :      f( b ) – f( a ) ?

             Cette différence dépend - t- elle, dans ce cas, des valeurs de a  et  b ?

        Réponse :

          On a :       f( b ) – f( a ) =  ( 10 / ln( 10 ) )   ln( b / a )   

         Donc ici :    pour b = 2 a   ,      f( b ) – f( a ) = ( 10 / ln( 10 ) )   ln( 2a / a ) =  ( 10 / ln( 10 ) )  ln( 2 )

               Conclusion :   pour  b = 2 a           f( b ) – f( a ) = ( 10 / ln( 10 ) ) ln(2 )

             La différence ne dépend alors ni de a  ni de b.

   7. Soit a > 0  et  b > 0  tels que  b = 10 a.

                         A-t-on  :      f( b ) -  f( a )  = 10 ?

                         A-t-on  :      f( b ) = 10 f( a )   ?

         ( Cette constatation a permis de dire que si l’intensité d’un son

            est multipliée par 10  le niveau sonore ne l’est pas.)

           Réponse:  

                       Soit          b = 10 a

                       On a :       f( b ) – f( a ) =  ( 10 / ln( 10 ) )   ln( b / a )   

                      Donc        f( b ) – f( a ) =  ( 10 / ln( 10 ) )   ln( 10  a / a )  =  ( 10 / ln( 10 ) )   ln( 10 ) = 10

                    Conclusion :   pour  b = 10 a           f( b ) – f( a ) = 10

                     Ainsi  :    f( b ) =  10 + f( a )     et     f( b ) ≠   10 f( a )

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 •    PARTIE 2     SON  ET SUITE NUMERIQUE        ( Extrait d’ex. bac )        

                       L’unité d’intensité du son est le décibel ( symbole dB ).

                      Une source sonore émet un son de 100 dB.

             Soit u_n  avec n entier naturel , l’intensité du son mesurée

             après la traversée de n plaques d’isolation phonique.

             On admet que chaque plaque absorbe 10%  de l’intensité du son

             qui la frappe.

          1.      On sait que  u₀   = 100 .

                    Calculer   u₁ , u₂  , u₃ .

                 Réponse:

                 1.  On a :            u₁  = 100 × 0,9 =   90

                                          u₂  = 0,9 ×  u₁  =    81

                                         u₃  = 0,9 ×  u₂  =  72,9

          2.      Trouver une relation entre  u_{n + 1}   et  u_n .

                    En déduire la nature de la suite ( u ) .

                    Réponse: 

                      On a :     u_{n + 1}  = 0,9 ×  u_n    pour tout n dans IN.

                       Conclusion :         La suite ( u ) géométrique de raison q = 0,9  .

         3.      Exprimer u_n en fonction de n .

                 Réponse:

                     On a :      u_n   = u₀  ×   qⁿ       pour tout n dans IN.

                     Conclusion :             u_n   = 100  ×   0, 9ⁿ        pour tout n dans IN.

        4.      A l’aide de la calculatrice trouver le plus petit entier naturel n

               tel que u_n  soit inférieur à 1 décibel.

               Réponse:

                    Imposons        u_n    < 1

                         c-à-d          100  ×   0, 9ⁿ     < 1  

                         c-à-d             0, 9ⁿ     < 10 ^{- 2}      car ln est strictement croissante sur IR*⁺

                         c-à-d        n  ln 0, 9     <  ln   10 ^{- 2}  

                         Donc             n  >  ( ln 10 ^{- 2}  ) / ln 0, 9     car  ln 0, 9  < 0

                            Or       ( ln 10 ^{- 2}  ) / ln 0, 9   ≈  43,7

                Donc le plus petit entier n tel que    u_n    < 1  est    n = 44

                Conclusion :  n = 44

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  •    PARTIE 3.             STAT. ET  RAP

        Le tableau ci-dessous récapitule la durée, en minutes, d’émission de musique rap

         d’une station de radio pendant 10 ans.

    1.  Représenter dans un repère orthogonal, le nuage de points de cette série

         statistique à deux variables x et y.                                                                                                           

             ( unités : 1 cm pour un an en abscisse

                            1 cm pour 2 minutes en ordonnée  )

     2.  Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série.

          Placer le point moyen G sur le graphique.     

               La moyenne arithmétique des x_i  est :  5,5.

                 (  1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 ) / 10 = 5,5

               La moyenne  arithmétique des y_i  est :  31,03 environ. 

           (  20 + 21,5 + 23,1 + 28 + 31,4 + 32,4 + 35 + 37,4 + 39,5 + 42 ) / 10   ≈ 31,03

              Voir sur le graphique.

                     Conclusion :        G( 5,5   ; 31,03 )     

     3.  Placer sur le graphique le point A( 0 ; 16 ). 

     4.   Donner l’équation réduite de la droite ( AG ).  

                  d est la droite ( A G ) .

                   A a pour ordonnée 16.

                  Donc 16 est déja l'ordonnée à l'origine de ( d ) .

                  Son cœfficient directeur est environ  ;         [ (  31,03 - 16 ) / 5,5 ]

                 L'équation réduite de ( d ) est donc :   

                     y =[ (  31,03 - 16 ) / 5,5 ]  x + 16

                 c-à-d    y ≈  2,73 x + 16      ( équation approchée )

                  Conclusion :    Equation réduite approchée de ( AG ) :    y ≈  2,73 x + 16  

     5.   La droite ( AG ), notée d , vous paraît-elle constituer une bonne

           droite d’ajustement du nuage ? ( Expliquer )

                       Les points sont à proximité de d.

                    Conclusion :  OUI.  Le nuage est allongé et les points sont proches de d.     

     6.  a. Avec cette droite d’ajustement d, estimer la durée des

              d'émission de rap en 2011 .

                                  d est la droite ( A G ):    y ≈ 2,73 x + 16

                                   Donc pour  x = 11      on a    y ≈ 46,03

            Conclusion :  En 2011 on peut estimer qu'il y aura 46 mn de rap  environ.

      b. Calculer l’année à partir de laquelle la durée d'émission de rap

                dépassera  57 mn.

                  Imposons  pour cela:      2 , 73 x + 16  > 57

                        c-à-d                     2,73 x > 57 - 16

                       c-à-d                       2,73 x > 41

                       c-à-d                      x > 15,018

                  Le plus petit entier x tel que   x > 15,018

                est  x = 16 . cela correspond à l'année 2016.

                 Conclusion :   En 2016 la durée dépassera 57 mn pour la première fois.

            c. Retrouver graphiquement les résultats de la question 6.a.

                 • On considère 11 sur l'axe des abscisses. On monte verticalement jusqu'à ( d .) 

                   On lit sur l'axe des ordonnées , l'ordonnée du point obtenu.

                • On considère  57 sur l'axe des ordonnées on se déplace horizontalement

                  jusqu'à ( d ) , puis on lit l'abscisse α du point obtenue.

                On regarde quel est la plus petit entier x qui  est supérieur ou égal à  α.

                On convertit en année.

       7.   Trouver les points moyens G’ et G’’ des sous nuages

              formés à partir des deux tableaux.

              a.  Donner les coordonnées des points G’ et G’’.

                 Pour le premier sous nuage de 5 points le point moyen est:    G ' ( 3 ; 24,8  )             

                 ( 1+2+3+4+5 ) / 5  = 3

                  (  20 + 21,5 + 23,1 + 28 + 31,4 ) / 5   ≈  24,8

              Pour le second sous nuage de 5 points le point moyen est:     G '' ( 8 ; 37, 26 )

              b. Trouver l'équation réduite de la droite de MAYER

                   ( G’G’’ ). 

                Le cœfficient directeur de ( G' G '' ) est le quotient:

                            ( 37,26 - 24,8 ) / (  8 - 3 ) ≈ 2,492

                           En utilisant le point G ' ( 3 ; 24,8 ) dont les coordonnées vérifient

                          y  ≈ 2,492 x + b  on obtient une équation approchée de la droite ( G ' G '' ).

                 L'équation approchée de ( G ' G '' ) est:    y = 2,492 x + 17,324