INFO EX 2 FEUILLE 3 d'ex sur les suites Sept. 2012 TS

                               INFO EX 2 FEUILLE d'exercices sur les suite   TS   sept 2012

          

   EXERCICE 2

               Montrer que 3   divise 5n - 2n   pour tout n dans IN.

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      Réponse:   ( Utile pour la spé maths )

              Faisons une récurrence sur IN.

           • n = 0

                 On a :

                     50 - 20   = 1 - 1 = 0

                 et    3 divise 0

                 3   divise 5n - 2n      est vrai pour n = 0

             • Soit n dan IN quelconque.

               Montrons  que  si   3 divise  5n - 2n    alors   3  divise  5n + 1 - 2n + 1   

            ( Ce qui se formalise en :    3 | ( 5n - 2n )   =>  3 | (  5n + 1 - 2n + 1  )    )

              Considérons que :

                     3 divise  5n - 2n 

           On a:        5n + 1 - 2n + 1   =  5 × 5n  -   ×2n    

          c-à-d         5n + 1 - 2n + 1   =  5 × 5 - ( 5 - 3  ) ×2n    

          c-à-d          5n + 1 - 2n + 1   =  5 × 5 - 5 × 2n    + 3 × 2n           

           division-par-3-ex-2.gif 

          Conclusion :  Le résultat est prouvé sur IN .

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