AIDE1 DV n° 1 TS 24 sept 2010

AIDE1 DV n° 1 TS 24 sept 2010

                          AIDE AU DEVOIR    n° 1         24 septembre 2010                Nb COMPLEXES                    TS

          1.a  Il faut remplacer z par ib dans l'expression f( z ).

                Il faut  ensuite mettre l'expression obtenue sous la forme X + i Y avec X et Y

                deux réels exprimés en fonction du réel b ou de puissances de b.

                Le nombre complexe X + i Y est nul ssi  X = 0  et  Y = 0.

               Donc f( ib ) = 0 se traduira par deux équations d'inconnue le réel b .

               La résolution du systéme de ces deux équations non linéaires

              donnera le ou les valeurs du réel b possible.

              Choisir d'abord l'équation la plus simple pour trouver b.

              Vérifier en reportant dans l'autre équation que b convient.

              ib sera pour chaque valeur éventuelle de b trouvée un nombre complexe ,

             imaginaire pur , solution de f( z ) = 0.

              En regardant la question  2.a on peut se douter que 3 i et - 3 i seront les deux

             imaginaires purs qui seront solutions de f(z) = 0, autrement dit vous devez

              trouver  b = - 3  ou b = 3 dans la question 1.a.

            Vous pouvez utiliser : 

                          i² = - 1         i3  = i × i² = - i             i4  = i² ×  i²   = 1

           b. Les connaissances acquises en Première S demeurent et 

                s'appliquent.

               Ainsi à partir du moment où le polynôme z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z +261 

               s'annule pour z = z0  alors il est factorisable par z - z0  ,

              c'est-à-dire,  qu'il peut s'écrire sous la forme ( z - z0  )× Q( z ) 

              où Q( z ) est un polynôme de degré 3.

               Cela veut dire que si  z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z +261   s'annule pour

               z  = i b   alors il peut se mettre sous la forme  ( z - ib) × Q( z )  

               où  Q( z ) est un polynôme de degré 3.

             Donc  si  z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z + 261   s'annule pour pour z = i b  et   z= - i b

             alors il peut se mettre sous la forme ( z - ib) × ( z + ib) ×T(z )

             où  T( z ) est un polynôme de degré 2  , c'est-à-dire de la forme

             m z² + n z + s .

           Pour obtenir T( z ) ce sont les mêmes méthodes qu'en première S.

          Méthode par identification

             On peut poser:    T( z ) = m z² + n z + s    où  m , n , s  sont trois réels et m non nul.

             Puis on peut écrire :     z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z +261  =  ( z - ib) ×( z + ib)× (m z² + n z + s )

                                                  pour  tout nombre complexe  z.    (  A mettre sur la copie )

                      On écrit le membre de droite sous la forme  d'un polynôme en z de degré 4

                     en développant et réduisant.

                      On identifie alors les cœfficients des mêmes puissances de z

                     ainsi que les termes constants.

                      ( Attention: On n' identifie pas les puissances de z mais les cœfficients )

                      Il n'y a plus qu'à résoudre un système d'inconnues m , n , s.

                      d'où le résultat demandé.

              Méthode par division 

              Comme  ( z - i b ) ( z + ib) = z² + b²

              On divise directement     z4 - 10 z3+ 38 z2 - 90 z + 261    par    z² + b²          

z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z +261            |    z² + b²                   
- ( z+ b² z² ) |    z²
       - 10 z3 + ( 38 - b² )z2 - 90 z +261    |
  |
   

    z4    disparaît  par soustraction

 Seconde étape pour faire disparaître - 10 z3

z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z +261            |    z² + b²                   
- ( z+ b² z² ) |    z² - 10 z
              - 10 z3 + ( 38 - b² ) z2 - 90 z +261    |
           - (  - 10 z3 - 10 b² × z ) |
                      ( 38 - b² )z2 - ( 90 - 10 b² ) z +261     

      - 10 z3   disparaît par soustraction

   Troisième étape pour faire disparaître le terme en z²

    On continue jusqu'à avoir le reste nul.

z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z +261            |    z² + b²                   
- ( z+ b² z² ) |    z² - 10 z +  ( 38 - b² )
              - 10 z3 + ( 38 - b² )z2 - 90 z +261    |
              - (  - 10 z3 - 10 b² × z ) |
                 ( 38 - b² ) z2 - ( 90 - 10 b² ) z + 261     
              - [ ( 38 - b² ) z2  +  b² ( 38 - b² )  ]     
                                                 0  
   

         ( 38 - b² ) z2   disparaît par soustraction.

          Vous constaterez que :   90 - 10 b² = 0

                                              b² ( 38 - b² ) = 261

          Le reste est donc nul.

        Sinon refaites vos calculs.

            Ainsi      T( z ) = z² - 10 z +  ( 38 - b² )

               Donc m = 1     n = - 10   s = 38 - b²

  c.   Pour résoudre f( z ) = 0 il suffit de savoir qu'un produit de facteurs

          est nul ssi l'un au moins des facteurs est nuls.

         Concrètement seule la résolution de z² - 10 z +  ( 38 - b² ) = 0

          reste à faire.

         Vous allez trouver pour f( z ) = 0  quatre solutions distinctes ou confondues

         dans l'ensemble des nombres  complexes car f( z ) est de degré 4 .

         La connaissance du degré du polynôme donne systématiquement

            le nombre de racines distincte ou confondues dans l'ensemble 

          des nombres complexes.

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                                      Pour la suite voir l'aide 2