INFO EX 3 LISTE2 SUITES MAI

INFO EX 3  LISTE 2   SUITES  MAI 09   1S1

       EXERCICE 3

            Soit la suite ( u ) de terme général   un  = 1 / n   - 1 / ( n + 1 )

             pour tout n dans IN*  .

             Calculer la somme  u1  +  u2  + ........ +  u10  .

             Donner le sens de variation de la suite ( u ).

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Réponse :      •  Calculons la somme u1  +  u2  + ........ +  u10 

                             u1  =    1 / 1          -        1 / ( 1 + 1 )

                             u2  =   1 / 2          -         1 / ( 2 + 1 )

                             u3   =      1 / ( 2 + 1 )   -      .........

                                                       etc   

                                             ......................................     

                               un - 2     =        ........     -         1 / n - 1           

                               un - 1     =    1 / n - 1         -      1 / ( n  - 1 + 1 )

                               un          =      1 / n     -    1 / ( n + 1 ) 

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  Sommons:             u1  +  u2  + ........ +  un   =    1       -    1 / ( n + 1 )   

          Conclusion:             u1  +  u2  + ........ +  un   =     n   /  (  n + 1 )  

             Pour n = 10 on obteint   u1  +  u2  + ........ +  u10   =     10   /   11     

  •  Donnons le sens de variation de la suite ( u ) .   

           On a :    un  = 1 / n   -    1 / ( n + 1 ) =   1 / ( ( n + 1 ) n )   pour tout n dans   IN*  .          

            La fonction  u : x →  1 /  (  ( x + 1 ) x   )   est définie et dérivable dans IR+*  .

            On a :      u : x →  1 /  ( x² + x )   .

            La fonction dérivée est   u' : x →  - (  2 x + 1 )  /  ( x² + x )²  est négative

            sur   IR+*  .

             u décroît   sur  IR+*  .

     Conclusion:  La restriction de u  à IN*  , c'est-à-dire  la suite ( u ) ,  est décroissante