INFO EX 3 LISTE 2 SUITES MAI 09 1S1
EXERCICE 3
Soit la suite ( u ) de terme général un = 1 / n - 1 / ( n + 1 )
pour tout n dans IN* .
Calculer la somme u1 + u2 + ........ + u10 .
Donner le sens de variation de la suite ( u ).
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Réponse : • Calculons la somme u1 + u2 + ........ + u10
u1 = 1 / 1 - 1 / ( 1 + 1 )
u2 = 1 / 2 - 1 / ( 2 + 1 )
u3 = 1 / ( 2 + 1 ) - .........
etc
......................................
un - 2 = ........ - 1 / n - 1
un - 1 = 1 / n - 1 - 1 / ( n - 1 + 1 )
un = 1 / n - 1 / ( n + 1 )
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Sommons: u1 + u2 + ........ + un = 1 - 1 / ( n + 1 )
Conclusion: u1 + u2 + ........ + un = n / ( n + 1 )
Pour n = 10 on obteint u1 + u2 + ........ + u10 = 10 / 11
• Donnons le sens de variation de la suite ( u ) .
On a : un = 1 / n - 1 / ( n + 1 ) = 1 / ( ( n + 1 ) n ) pour tout n dans IN* .
La fonction u : x → 1 / ( ( x + 1 ) x ) est définie et dérivable dans IR+* .
On a : u : x → 1 / ( x² + x ) .
La fonction dérivée est u' : x → - ( 2 x + 1 ) / ( x² + x )² est négative
sur IR+* .
u décroît sur IR+* .
Conclusion: La restriction de u à IN* , c'est-à-dire la suite ( u ) , est décroissante