INFO EX 2 DS 1 TS1 29 / 09/ 12

             INFO EX 2  DS 1  TS   29 sept. 2012

    

  EXERCICE 2  Bac S Métropole juin 2005

    Les deux suites de cet exercice sont indépendantes.

    1. On considère la suite définie par : 

       u0 =  1

      un + 1 = ( 1 / 3 ) un  + 4

      pour tout entier naturel n.

    On pose pour tout entier naturel n

            vn = un - 6

   a. Pour tout entier naturel n calculer vn + 1 en fonction 

      de vn  .

       Quelle est la nature de la suite ( vn ) ?

    Réponse:

    Soit n dans IN quelconque.

         On a:

           vn + 1 = un + 1 - 6

   c-à-d    

          vn + 1 =  ( 1 / 3 ) un  + 4 - 6  = ( 1 / 3 ) un  - 2

   c-à-d

           vn + 1 = ( 1 / 3 ) un  -  6 / 3

           vn + 1 =  ( 1 / 3 ) ( un  - 6 )

 c-à-d 

             vn + 1 =  ( 1 / 3 )  vn

    Conclusion : la suite ( vn  ) est géométrique de raison 1/3

 b. Démontrer que pour tout entier naturel n

             un = - 5 ( 1 / 3 )n   + 6 

      Réponse:

             v0 =u0 - 6 = 1 - 6 = - 5

         Donc    vn = - 5 ( 1/3 )n    pour tout n dans IN

          Mais     un = vn + 6

        D'où

   Conclusion:   On a bien   un = - 5 ( 1 / 3 )n   + 6  pour tout n dans IN 

    c . Etudier la convergence de la suite ( un ).

       Réponse:

          - 1 < 1 /3 < 1    Donc   lim ( 1 / 3 )n = 0

                                             n→ + ∞

     D'où    lim [ - 5 ( 1 / 3 )n   + 6  ] = 0 + 6 = 6

                n → + ∞

         c-à-d       lim un = 6

                        n → + ∞

      Conclusion : la suite ( un )  converge vers + ∞

  2. On considère la suite ( wn )définie par :

      w0  = 1

   n w= ( n+1 ) wn - 1 +  1       pour tout entier naturel n ≥ 1

     Le tableau suivant donne les 10 premiers termes de cette suite.

   

u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8  u9 
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

  a. Détailler le calcul permettant de d’obtenir w10.

    Réponse:

        10 w10 = ( 10+1 ) w+  1    = 11 × 19 + 1 = 210

     Donc

      Conclusion :     w10 = 21

  b. Donner la nature de la suite ( w)

     Réponse:

       En voyant le tableau on peut conjecturer que la suite 

          est arithmétique de raison 3 car le suivant de

         chaque terme est obtenu en ajoutant 2.

         Montrons pour cela que : 

       wn = 1 + 2 n  pour tout n dans IN

       • pour n = 0

                w0 = 1  

                Donc     w= 1 +2 n  est vrai pour  n = 0

       •Soit n quelconque dans IN .

          Montrons que si  w= 1 +2 n  alors  wn+ 1  = 1 +2( n  + 1)

        Considérons:

                  w= 1 +2 n 

         Reportons dans  ( n+ 1 ) wn+1 = ( n+2 ) w+  1  

         Il vient :

                  ( n+ 1 ) wn+1 = ( n+2 ) [ 1 + 2 n ] +  1  

            c-à-d 

                  ( n+ 1 ) wn+1 = ((  n+1) + 1 ) [ 1 + 2 n ] +  1    

         c-à-d

             ( n+ 1 ) wn+1 = (  n+1)( 1 + 2 n)  +  (1 + 2 n ) +  1  

      c-à-d  

              ( n+ 1 ) wn+1 = (  n+1)( 1 + 2 n)  +  2 + 2 n   

               c-à-d 

               ( n+ 1 ) wn+1 = (  n+1)( 1 + 2 n)  +  2( n + 1 )

         c-à-d   

              wn+1 = ( 1 + 2 n)  +  2  = 1 + 2 ( n + 1)

        c-à-d 

                    wn+1  =1 + 2 ( n + 1)

      Conclusion : La suite est arithmétique de raison 2

          Calculer w2009.

     Réponse:

              w2009  = 1 + 2009×2= 4019