INFO LISTE 1 D'EX SUR LES PROBABILITES BTS1 DEC. 08
EX. 1 Faisons un tableau à double entrée pour visualiser les
informations disponibles .
M1 | Non M1 | Total | |
M2 | 8 % | 16 % | |
Non M2 | |||
Total | 20 % | 100 % |
On peut alors compléter le tableau par des soustractions:
M1 | Non M1 | Total | |
M2 | 8 % | 8 % | 16 % |
Non M2 | 12 % | 72 % | 84 % |
Total | 20 % | 80 % | 100 % |
Dans chaque case il y a en fait une probabilité qui s'exprime par
un pourcentage. Nous pouvons répondre aux questions posées.
1. Donnons P( A ) , P( B ) , P( C ).
• ( A = " Il n'est atteint ni de la maladie M1 ni la maladie M2 " )
Par lecture : P( A ) = 72 %
• ( B = " Il est atteint de la maladie M1 mais pas de la maladie M2 " )
Par lecture : P( B ) = 12 %
• ( C = " Il est atteint de la maladie M2 mais pas de la maladie M1 " )
Par lecture : P( C ) = 8 %
Conclusion : P( A ) = 72 % P( B ) = 12 % P( C ) = 8 %
2. Regardons si les événements B , C sont indépendants.
A-t-on P( B ∩ C ) = P( B ) × P( C ) ?
On a : P( B ) × P( C ) = 0,12 × 0,08 On a : B ∩ C = ø ( Le vide )
Donc P( B ∩ C ) = 0
Comme 0 ≠ 0,12 × 0,08 on a : P( B ∩ C ) ≠ P( B ) × P( C )
Conclusion : Les événements B , C ne sont pas indépendants ?
EX. 2
1.a Dénombrons les montants différents à payer.
Le raisonnement est basé sur l'idée que " trois arbres alignés créent deux intervalles."
Les montants extrèmes sont: 4500 centimes d'euros
3000 centimes d'euros
La différence est de 4500 - 3000 = 1500 centimes d'euros
Il y a donc 1500 intervalles entre les montants que l'on veut dénombrer.
Il y a donc 1500 + 1 = 1501 montants différents.
Conclusion: Il y a 1501 montants différents possibles à payer par l'automobliste.
b. Donnons Card( Ω).
On a Card( Ω ) = 1501 car Ω est l'ensemble de tous les montants possibles.
Conclusion : Card( Ω ) = 1501
2. Soit A l'événement " Il doit payer 37,23 euros c-à-d 3723 centimes d'euros"
Donnons P( A ).
On est dans une situation d'équiprobabilité.
P( A ) = Card( A ) / Card( Ω )
Or Card( A ) = 1 ( Il n'y a qu'un seul montant dans A . )
Conclusion: P( A ) = 1 / 1501
3. Soit B l'événement " Le montant en euros est un entier naturel" .
Donnons P( B ).
On a : P( B ) = Card( B ) / Card( Ω )
L'écart entre les montants entiers extrèmes en euros est : 45 - 30 = 15
Il y a donc 15 intervalles entre les montants entiers en euros.
Donc il y a 15 + 1 = 16 montants entiers en euros.
Card( B ) = 16
D'où P( B ) = 16 / 1501
Conclusion: P( B ) = 16 / 1501
EX.3 Remarquons dans un premier temps que le fleuriste peut imaginer
C545 17 bouquets de 17 fleurs.
( Chaque bouquet est une partie de 17 fleurs prises parmi les 545 disponibles )
C-à-d l'univers des possibles Ω sera de cardinal Card( Ω ) = C545 17 .
D'autre part on sera dans une situation d'équiprobabilité.
1. Dénombrons les bouquets "Bonheur" théoriques possibles.
Chaque bouquet " Bonheur" est obtenu par réunion :
d'une des C500 12 parties de 12 roses prises parmi les 500 roses
avec une des C45 5 parties de 5 tulipes prises parmi les 45 tulipes.
Il y a donc C500 12 × C45 5 bouquets " Bonheur".
Conclusion: Il y a C500 12 × C45 5 bouquets " Bonheur".
2. Soit A l'événement " Le fleuriste crée et vend un bouquet bonheur au client"
P( A ) = Card( A ) / Card ( Ω )
Or Card( A ) = C500 12 × C45 5
D'où P( A ) = ( C500 12 × C45 5 ) / C545 17
Conclusion: P( A ) ≈ 0,008
EX . 4 1.Trouvons la probabilité P ( A ) .
A est l'événement " 5 étudiants reçus parmi les cinq".
Cela correspond à la probabilité de la branche de l'arbre
------ R ------- R --------- R -------- R --------- R
On rencontre la probabilité 0, 75 cinq fois sur la branche.
Conclusion: P( A ) = 0, 755
c-à-d P( A ) ≈ 0,237
2. Trouvons la probabilité P ( B ) .
B est l'événement " 5 étudiants collés parmi les cinq".
Cela correspond à la probabilité de la branche de l'arbre ------ C ------- C --------- C -------- C --------- C On rencontre la probabilité 0, 25 cinq fois sur la branche. Conclusion: P( B ) = 0,255 P( B ) ≈ 0,00097
3. Trouvons la probabilité P ( C ) .
C est l'événement " 3 étudiants sont reçus parmi les cinq". Si les trois premiers sont reçus seulement alors on obtient la branche --------- R --------- R ----------- R --------- C -----------C dont la probabilité est 0,753 × 0,25² mais il y a C5 3 façons de réserver 3 places parmi cinq places. Donc P( C ) = C5 3 0,753 × 0,25² = 10 × 0,753 × 0,25² Conclusion : P( C ) =10 × 0,753 × 0,25² P( C ) ≈ 0,263
EX . 5 Il y a dans l'urne : 1 boule avec le 1.
2 boules avec le 2
..................
n boules avec le n
On tire une boule au hasard de l'urne.
L'univers des possibles Ω est l'ensemble des boules de l'urne.
1. Donnons le cardinal de Ω.
Card( Ω) = 1 + 2 + ........... + n = ( n ( n + 1 ) ) / 2
2. Pour n = 30 on a :
Card( Ω) = (30 ×31 ) / 2 = 465
Ainsi : Card( Ω) = 465
Soit A l'événement "Avoir une boule portant un chifre pair".
Donnons P( A ).
On a : Card( A ) = 2 + 4 + 6 + ........... + 30
c-à-d Card( A ) = 2 ( 1 + 2 + 3 + ............ + 15 ) = 2 ( 15 ( 1 + 15 ) / 2 )
c-à-d Card( A ) = 15 × 16 = 240
Comme on est dans une situation d'équiprobabilité
P( A ) = Card( A ) / Card( Ω)
c-à-d P( A ) = 240 / 465
Conclusion: P(A ) = 16 / 31