INFO LISTE 1 D' EX PROB BTS1

INFO  LISTE 1  D'EX   SUR LES PROBABILITES   BTS1  DEC. 08   


  EX. 1    Faisons un tableau à double entrée pour visualiser les

              informations disponibles  . 

M Non M1 Total
M2 8 % 16 %
Non M2
Total 20 % 100 %

             On peut alors compléter le tableau par des soustractions:  

M Non M1 Total
M2 8 % 8 % 16 %
Non M2 12 % 72 % 84 %
Total 20 % 80 % 100 %

               Dans chaque case il y a en fait une probabilité qui s'exprime par

               un pourcentage. Nous pouvons répondre aux questions posées.

          1. Donnons P( A ) , P( B ) , P( C ).    

         •   (  A = " Il n'est atteint ni de la maladie M1  ni la maladie M2 "  ) 

             Par lecture :   P( A  ) = 72 % 

          • (  B = " Il est atteint de la maladie M1  mais pas de  la maladie M2 "  )

             Par lecture :   P( B  ) = 12 %

             • (  C = " Il est atteint  de la maladie M2 mais pas de  la maladie M "  )

           Par lecture :   P( C  ) = 8 %   

         Conclusion :   P( A  ) = 72 %        P( B  ) = 12 %     P( C  ) = 8 %    

          2. Regardons si les événements B , C sont indépendants.

                A-t-on   P( B ∩ C ) = P( B ) × P( C )  ?

                    On a :    P( B ) × P( C ) = 0,12  × 0,08                     On a :     B ∩ C = ø  ( Le vide )

                    Donc   P( B ∩ C ) = 0

                   Comme     0 ≠  0,12  × 0,08  on a :   P( B ∩ C ) ≠   P( B ) × P( C ) 

               Conclusion :       Les événements    B , C ne sont pas indépendants ?


  EX. 2 

         1.a Dénombrons les montants différents à payer.

            Le raisonnement est basé sur l'idée que " trois  arbres alignés créent deux intervalles."

             Les montants extrèmes sont:            4500   centimes d'euros

                                                                      3000      centimes d'euros

                        La différence est de   4500 - 3000 = 1500    centimes d'euros

                        Il y a donc 1500 intervalles entre les montants que l'on veut dénombrer.

                         Il y a donc 1500 + 1 = 1501  montants différents.

               Conclusion:   Il y a 1501 montants différents possibles à payer par l'automobliste.

              b. Donnons Card( Ω).

                   On a Card( Ω ) = 1501 car Ω est l'ensemble de tous les montants possibles.

                     Conclusion :  Card( Ω ) = 1501

                  2. Soit A l'événement " Il doit payer 37,23 euros c-à-d   3723 centimes d'euros"

                       Donnons P( A ).

                     On est dans une situation d'équiprobabilité.

                      P( A ) = Card( A ) / Card( Ω ) 

                     Or Card( A ) = 1   ( Il n'y a qu'un seul montant dans A . )

                      Conclusion:  P( A ) = 1 / 1501

                 3. Soit B l'événement " Le montant en euros est un entier naturel" .

                     Donnons P( B ).

                     On a :     P( B ) = Card( B ) / Card(  Ω )

                    L'écart entre les montants entiers extrèmes en euros est : 45 - 30 = 15

                     Il y a donc 15 intervalles entre les montants entiers en euros.

                      Donc il y a  15 + 1 = 16   montants entiers en euros.

                      Card( B ) = 16

                      D'où    P( B ) = 16 / 1501

                    Conclusion:   P( B ) = 16 / 1501    


       EX.3    Remarquons dans un premier temps que le fleuriste peut imaginer

                   C545 17     bouquets de 17 fleurs. 

                  ( Chaque bouquet est une partie de 17 fleurs prises parmi les 545 disponibles )

                  C-à-d l'univers des possibles  Ω  sera de cardinal  Card( Ω ) =  C545 17     .

                   D'autre part on sera dans une situation d'équiprobabilité.

                 1.   Dénombrons les bouquets "Bonheur" théoriques possibles.

                        Chaque bouquet " Bonheur" est obtenu par réunion :

                         d'une des   C500 12       parties de 12 roses prises parmi les 500 roses

                     avec une des  C45       parties de 5 tulipes prises parmi les 45 tulipes.

                       Il y a donc  C500 12     ×   C45    bouquets " Bonheur".

                           Conclusion:     Il y a    C500 12     ×   C45 5     bouquets " Bonheur".

                     2.   Soit A l'événement " Le fleuriste crée et vend un bouquet bonheur au client"

                         P( A ) = Card( A ) / Card (  Ω )

                         Or    Card( A ) = C500 12     ×   C45 5  

                          D'où     P( A ) =  (  C500 12     ×   C45 5  )  / C545 17    

                         Conclusion:     P( A ) ≈  0,008


      EX . 4               1.Trouvons la probabilité P ( A )  .

                                A est  l'événement " 5 étudiants reçus parmi les cinq".

                                 Cela correspond à la probabilité de la branche de l'arbre

                                    ------ R ------- R --------- R  -------- R --------- R

                              On rencontre la probabilité 0, 75  cinq fois sur la branche.

                           Conclusion:        P( A ) = 0, 755  

                                                         c-à-d      P( A ) ≈ 0,237 

                             2. Trouvons la probabilité P ( B )  .

                                       B est  l'événement " 5 étudiants collés parmi les cinq".

                                      Cela correspond à la probabilité de la branche de l'arbre

                                    ------ C ------- C --------- C  -------- C --------- C

                              On rencontre la probabilité 0, 25  cinq fois sur la branche.

                           Conclusion:        P( B ) = 0,255   

                                               P( B )  0,00097

 

 

                             3.  Trouvons la probabilité P ( C )  .

                                C est  l'événement " 3 étudiants sont reçus  parmi les cinq".

                                Si  les trois premiers sont reçus seulement alors on obtient

                                 la branche

                                        --------- R --------- R ----------- R --------- C -----------C

                               dont  la probabilité est    0,753   × 0,25²  mais il y a C5 3 

                               façons de réserver 3 places parmi cinq places.

                               Donc  P( C ) = C5 3     0,753   × 0,25²  = 10 × 0,753   × 0,25²  

                         Conclusion :  P( C ) =10 × 0,753   × 0,25²  

                                              P( C )    0,263


 EX . 5      Il y a dans l'urne : 1 boule avec le 1.

                                             2 boules avec le 2

                                                   ..................

                                           n boules avec le  n

              On  tire une boule au hasard de l'urne.

              L'univers des possibles Ω  est l'ensemble des boules de l'urne.

                    1. Donnons le cardinal de Ω.

                      Card( Ω) = 1 + 2 +  ........... + n  =  ( n ( n + 1 ) ) / 2

                  2. Pour n = 30  on a :  

                      Card( Ω) = (30 ×31 ) / 2  = 465

                     Ainsi :   Card( Ω) = 465

                     Soit A l'événement "Avoir une boule portant un chifre pair".

                        Donnons P( A ).

                       On a : Card( A ) = 2 + 4 + 6 + ........... + 30

       c-à-d         Card( A ) = 2 ( 1 + 2 + 3 + ............ + 15 ) = 2 ( 15 ( 1 + 15 ) / 2 )

       c-à-d           Card( A ) = 15 × 16 =  240

                 Comme on est dans une situation d'équiprobabilité

                          P( A ) = Card( A ) / Card( Ω)

                 c-à-d    P( A ) = 240 / 465

               Conclusion:   P(A )  = 16 / 31