EX SUJET : SYST. MATR. BTS

                           EXERCICE  DE SUJETS      MATRICES ET SYSTEMES LINEAIRES         BTS 1        Nov . 2010

            EXERCICE 3

            Une usine fabrique trois types de pièces, dans un même matériau.

            Le nombre total de pièces fabriquées est désigné par N, leur masse totale ( en Kg )

            par M , le coût total d'expédition ( en euros ) par C.

           On peut synthétiser cette situation par un tableau:     

type de pièce P1 P2 P3
coût d'expédition d'une pièce, en euros
masse d'une pièce, en Kg
nombre de pièces fabriquées x y z

                Le système ( 1 ) ci-dessous fournit des informations complémentaires

               sur cette fabrication :   

                                                

         1. Recopier et compléter le tableau.

         2. Résoudre le système ( 1 ) par la méthode du Pivot de Gauss.

            ( Les calculs intermédiaires seront soigneusement présentés ).

        3. Soit   les vecteurs:  

                         

           Quelle doit être la matrice A pour que le système ( 1 ) s'écrive : A × V = B ?

       4. On désigne par D la matrice :

                              

         Calculer le produit :   D  × A

        5. Sans effectuer explicitement les  produits de matrices en cause, mais en

             précisant les propriétés du calcul matriciel utilisées, démontrer l'équivalence:

                  A   ×  V  =  B      <==>    V  = D   ×  B

       6. Déduire de la question précédente V en fonction de N , M , C.

      7. Dans cette question :

                          C =  8100  €

                          M  = 360 Kg

                          N = 250

       Combien a-t-on fabriqué de pièces de chaque catégorie?

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  Réponse:

        1. Le système  ( 1 )

                            

            peut s'écrire   en   considérant    L 1  ↔  L3

                           

                 Le tableau complété est donc :                 

type de pièce P1 P2 P3
coût d'expédition d'une pièce, en euros 40 20 10
masse d'une pièce, en Kg 1 2 3
nombre de pièces fabriquées x y z

  2. Résolution du système  ( 1 )

          

         Considérons:

            L2 ←  L2  -   L1

             L3 ←  L3  -  40 L1  

           On obtient le système équivalent suivant:

              

                 L3 ←  L3  +  20 L2  

             On obtient le système équivalent suivant:

           

                  L3   donne donc    z  = 0 , 1 C -  6 N + 2 M

                 Puis   L2   donne    y = - 2 z + M + N  = - 2 (   0 , 1 C -  6 N + 2 M )  + M +N 

                                    c-à-d       y =  - 0,2 C + 12 N  - 4 M + M - N

                                  c-à-d    y  =  - 0, 2 C  + 11 N  - 3 M

             Enfin     L1      donne    x = N - y - z   = N - (  - 0, 2 C  + 11 N  - 3 M ) - ( 0 , 1 C -  6 N + 2 M )

                                      c-à-d            x = N  + 0, 2 C   -  11 N  + 3 M  -  0 , 1 C + 6 N  - 2 M

                                       c-à-d      x =    - 4 N +  0, 1 C + M

          Conclusion : S { (    - 4 N + M +  0, 1 C  ;    11 N  - 3 M - 0, 2 C  ; -  6 N + 2 M + 0 , 1 C  ) }

            3. Le système ( 1 ) a une écriture matricielle:

                               

           Donc la matrice A du système ( 1 ) est  :

                    Conclusion :               

            Le système s'écrit alors  A  × V = B

            4. Calcul  de la matrice D ×A.  

              (   En fait la matrice D  est  la matrice invers de A notée A- 1   )

                On obtient :      D × A   = I           ( I  est la matrice unité )

                          

              5.  Montrons l'équivalence:

                        A ×V = B      s'écrit    D ×  A × V   =  D × B     

                            c-à-d     I  × V =   D × B     

                            c-à-d      V =  D × B     

                        On a bien l'équivalence:      A ×V = B      <==>        V =  D × B           

                                 ( C'est en fait    V =     A- 1  ×  B  )

                 6. Déduisons V en fonction de N , M, C .

                          V =   D × B  

                 Mais : 

                       

               Donc :

                  

             Donc:

           Conclusion:

                 

          7. A présent  :    N = 250       M = 360       C = 8100

               En remplaçant on a:

                          x = - 4 ( 250 ) + 360 + 0, 1( 8100 ) = 170

                         y = 11 ( 250 ) - 3 ( 360 ) - 0,2 ( 8100 ) = 50

                        z = - 6 ( 250 ) + 2( 360 ) + 0, 1 ( 8100 ) = 30

             Conclusion:

                x = 170                  170   pièces P  fabriquées

                 y = 50                      50     pièces P fabriquées

                 z = 30                       30 pièces   P3  fabriquées.