EXERCICE DE SUJETS MATRICES ET SYSTEMES LINEAIRES BTS 1 Nov . 2010
EXERCICE 3
Une usine fabrique trois types de pièces, dans un même matériau.
Le nombre total de pièces fabriquées est désigné par N, leur masse totale ( en Kg )
par M , le coût total d'expédition ( en euros ) par C.
On peut synthétiser cette situation par un tableau:
type de pièce | P1 | P2 | P3 |
coût d'expédition d'une pièce, en euros | |||
masse d'une pièce, en Kg | |||
nombre de pièces fabriquées | x | y | z |
Le système ( 1 ) ci-dessous fournit des informations complémentaires
sur cette fabrication :
1. Recopier et compléter le tableau.
2. Résoudre le système ( 1 ) par la méthode du Pivot de Gauss.
( Les calculs intermédiaires seront soigneusement présentés ).
3. Soit les vecteurs:
Quelle doit être la matrice A pour que le système ( 1 ) s'écrive : A × V = B ?
4. On désigne par D la matrice :
Calculer le produit : D × A
5. Sans effectuer explicitement les produits de matrices en cause, mais en
précisant les propriétés du calcul matriciel utilisées, démontrer l'équivalence:
A × V = B <==> V = D × B
6. Déduire de la question précédente V en fonction de N , M , C.
7. Dans cette question :
C = 8100 €
M = 360 Kg
N = 250
Combien a-t-on fabriqué de pièces de chaque catégorie?
------------------------------------------------------------------------------------------------
Réponse:
1. Le système ( 1 )
peut s'écrire en considérant L 1 ↔ L3
Le tableau complété est donc :
type de pièce | P1 | P2 | P3 |
coût d'expédition d'une pièce, en euros | 40 | 20 | 10 |
masse d'une pièce, en Kg | 1 | 2 | 3 |
nombre de pièces fabriquées | x | y | z |
2. Résolution du système ( 1 )
Considérons:
On obtient le système équivalent suivant:
L3 ← L3 + 20 L2
On obtient le système équivalent suivant:
L3 donne donc z = 0 , 1 C - 6 N + 2 M
Puis L2 donne y = - 2 z + M + N = - 2 ( 0 , 1 C - 6 N + 2 M ) + M +N
c-à-d y = - 0,2 C + 12 N - 4 M + M - N
c-à-d y = - 0, 2 C + 11 N - 3 M
Enfin L1 donne x = N - y - z = N - ( - 0, 2 C + 11 N - 3 M ) - ( 0 , 1 C - 6 N + 2 M )
c-à-d x = N + 0, 2 C - 11 N + 3 M - 0 , 1 C + 6 N - 2 M
c-à-d x = - 4 N + 0, 1 C + M
Conclusion : S { ( - 4 N + M + 0, 1 C ; 11 N - 3 M - 0, 2 C ; - 6 N + 2 M + 0 , 1 C ) }
3. Le système ( 1 ) a une écriture matricielle:
Donc la matrice A du système ( 1 ) est :
Conclusion :
Le système s'écrit alors A × V = B
4. Calcul de la matrice D ×A.
( En fait la matrice D est la matrice invers de A notée A- 1 )
On obtient : D × A = I ( I est la matrice unité )
5. Montrons l'équivalence:
A ×V = B s'écrit D × A × V = D × B
c-à-d I × V = D × B
c-à-d V = D × B
On a bien l'équivalence: A ×V = B <==> V = D × B
( C'est en fait V = A- 1 × B )
6. Déduisons V en fonction de N , M, C .
V = D × B
Mais :
Donc :
Donc:
Conclusion:
7. A présent : N = 250 M = 360 C = 8100
En remplaçant on a:
x = - 4 ( 250 ) + 360 + 0, 1( 8100 ) = 170
y = 11 ( 250 ) - 3 ( 360 ) - 0,2 ( 8100 ) = 50
z = - 6 ( 250 ) + 2( 360 ) + 0, 1 ( 8100 ) = 30
Conclusion:
x = 170 170 pièces P 1 fabriquées
y = 50 50 pièces P2 fabriquées
z = 30 30 pièces P3 fabriquées.