EX1 Oblig. Juin 2019 INFO

                       INFO    EX 1              BAC S     Juin 2019

  Ex1 debut 2

         Partie A
             On considère la fonction f définie sur l’ensemble IR des nombres réels par :
                       f (x) = 7 / 2 − 0,5 ( e x + e− x )
    où  x dans IR 
                 1. a. Donnons la limite de la fonction f en + ∞.

                         On a :     lim  e x = +∞              et     lim  e −​x    =  lim  e = 0  ,  en posant  X  = − x

                                         x  → +∞                             x  + ∞          X   → − ∞

                    Donc   lim (  7 / 2 − 0,5 ( e x + e− x ) ) = − ∞
                                x+ ∞
                    d'après la limite d'une somme et un produit.

                      Conclusion:    lim f (x) = − ∞ 

                                               x + ∞
            b. Montrons que f est décroissante strictement sur l'intervalle [ 0 ,+ ∞ [

                f est définie et dérivable sur IR donc l'intervalle [ 0 ,+ ∞ [ comme somme et composées 

                 de fonctions définies et dérivables sur l'intervalle IR.

                   Pour tout nombre réel x ,  f ' (x) = − 1 / 2 (  e x − e− x )

              •  f '( 0 ) = 0            car    e0 − e− 0   = 1 − 1 = 0

.              • Soit  x > 0   alors on a  − x < 0

             Comme exp est strictement croissante sur l'ensemble des nombres réels.

                  e x >  e− x        c-à-d      e x − e− x    > 0    donc   − 1 / 2 (  e x − e− x ) < 0

              c-à-d   f ' ( x ) < 0   pour tout x > 0

              Conclusion : f est décroissante strictement sur l'intervalle [ 0 ,+ ∞ [.


     c. Montrons que l'équation f( x ) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle  [0 ; +∞[.

           •  f est continue sur l'intervalle  [ 0 ; + ∞ [    car elle y est dérivable.

           •   f (0) = 5 / 2

            • f est  strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; + ∞ [

            •   lim f( x )  =  − ∞
                   x
+ ∞
             •  0 est dans l'intervalle   ] − ∞ ,  5 / 2 ]  


            D’après le " théorème généralisé de la bijection", ( même s'il n'est plus prononcé dans le programme )

             l’équation f (x) = 0 admet une unique  une solution sur [ 0 , + ∞ [

             Notons la  α.

            Conclusion : Le résultat est avéré.
         2.  Montrons que l'équation  f( x ) = 0 admet exactement deux solutions dans IR.

              Déjà montrons que f est paire.

            •  f est définie sur l'intervalle ]−∞ ,+ ∞ [ qui est symétrique par rapport à 0.

             •   Pour tout x ∈ R,   f(− x ) = f( x )

                 En effet:                      f(− x ) = 7 / 2  − 0,5 (  e−x +  e − ( − x ) )

                    c-à-d                        f(− x ) = 7 / 2  − 0,5 (  e−x +  e x  ) = f( x )
     
                 f est bien paire.

           ♦Existence de deux solutions pour f( x ) = 0 .

             On a vu  que :  f( α ) = 0    et    α  ∈  [ 0 ,+ ∞ [

            Mais   α  ≠ 0        car    f( 0 ) = 7 /2  non nul 

            Donc    α > 0   et     α   − α  

             Ainsi    − α < 0

             Or  f( − α ) =   f( α ) = 0

            Ainsi      α  et    − α  sont deux solutions distinctes opposées

            de l'équation f( x ) = 0

          ♦ Exactement deux solutions pour f( x ) = 0.

            La fonction paire f est,  d'abord,  strictement croissante sur ] − ∞  , 0 ],

             puis strictement  décroissante sur  [ 0 ,+ ∞ [.

            Elle ne peut s'anuler qu'une seule fois sur chacun de ces intervalles.


          Conclusion : L'équation f ( x ) = 0 admet exactement deux solutions opposées sur IR.

                                   α  et    − α
 
           Partie B
       
Ex1 fin 1

Ex1 clos 1

          1. Calculons la hauteur de l'arceau.

              Elle correspond à f( 0), le maximum de f .

             Or    f( 0 ) = 5/2

              Conclusion : La hauteur d'un arceau est de 2,5  m

               2. a . Montrons que   1 + f ′(x)=     1/4  (ex + e−x)2     pour tout x ∈ R

                      Pour tout x ∈ R,

                                1 + f ′(x)= 1 + 1/4  (e− e−x)2    = 1 + ( 1 / 4 ) (  e2x − 2 + e −2x  )   

     c-à-d                    1 + f ′(x)2     = 1 − 2 /4  + (  e2x +  e −2x  ) /4  =   1/2  + (  e2x  + e −2x  ) /4

          De plus       1/4  (ex + e−x)2    =    (  e2x + 2 + e −2x  ) /4   =    (  e2x +  e −2x  ) /4  + 2 / 4           

          c-à-d             1/4  (ex + e−x)2    =        (  e2x +  e −2x  ) /4  + 1/ 2

                  Conclusion : L'égalité est avérée sur IR  

            b.      

          •   Déduisons la valeur de l'intégrale  I en fonction α   

            On  a vu que :    1 +(  f ' ( x ) )2 =   ( 1/4)  (ex + e−x)2  

            Donc:          √ (  1 +(  f ' ( x ) )2  ) =  √ (  ( 1/4)  (ex + e−x)2   ) = (1/2)  (ex + e−x)

               ( la fonction exp étant positive )

          Prenons  G :  x → 0,5  ( e− e−x  )  comme primitive de la fonction 

                  x → 0,5  (ex + e−x )      sur l'intervalle des nombres réels.

           On a  alors  :     I = G(α)−G(0)

            Mais                  G(0) = 0         

          Donc :    

               Conclusion :  I = 0,5  (eα − e−α)

           •  Justifions que la longueur d'un arceau , en mètre, est égale à eα − e−α .


           Comme la fonction f est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l’axe (Oy)     

            La longueur de la courbe f sur l'intervalle [ − α , α ] est donc le double de la longueur

            de la courbe de f sur l'intervalle [ 0 ,α ]
,
          Donc ,  la longueur d'un arceau est le double de l'intégrale I .

           Conclusion : La longueur d'un arceau est bien , en m ,    eα − e−α            
 

Ex1 terme

         Partie C

           1. Montrons que la surface de bâche , en m2 , nécessaire pour les faces sud et nord

               est  A = 4  ∫0 α  f (x) dx − 2  .

             Déjà on remarque , que chacune des deux  façades Nord et Sud, sans considérer la porte

              , a  une aire égale à
               ∫−α α    f (x) dx =  2  ∫0 α  f (x) dx     en unités d'aire

               C'est l'aire sous la courbe de de la fonction positive et continue  f sur l'intervalle [ − α , α ].
              L’aire de l’ouverture de la porte vaut 2 m2, donc l'aire de la bâche nécéssaire

              pour recouvrir, seulement, les façades sud et nord est , en m2   :
                         A = 2
 × 2  ∫0 α    f( x ) dx − 2  = 4  ∫0 α  f (x) dx − 2   

             Conclusion : L'aire de bâche pour les deux façades est bien en m: A =   A = 4  ∫0 α  f (x) dx − 2  .

          •    Par définition :         f (x) = ( 7 / 2 ) − ( ex + e−x ) /2         pour tout x ∈ R
.
              Une primitive F  possible de f est     F: x  ( 7 / 2)  x − ( e− e−x ) /2
.
            Alors:             A = 4 [ F(x) ]α​ − 2  = 4 [ F(α) − F(0) ] − 2
            On a :            F(α) = ( 7/2) α −   (eα​ − e−α ) / 2  
            et                   F(0) = 0
            Donc :                 A = 4(  ( 7/2) α −  (eα​ − e−α ) /2   )  − 2

            c-à-d                 A =  14  α  −  2  (eα​ − e−α )   − 2


          •  L’aire de la bâche latérale est celle d’un rectangle, de longueur

              3× 1,50 = 4,5 m   et de largeur  (eα − e−α )
             Donc,  cette aire latérale vaut:     4,5 (eα − e−α  )

              Considérons:   A  +   4,5 (eα − e−α  ) pour l'aire totale de la bâche en m2.
.
           L’aire totale de la bâche plastique nécessaire est en m2 :
                        14 α − 2  (eα−e−α) − 2  +  4,5 (eα − e−α ) = 14 α + 2,5 (eα − e−α ) − 2

               Pour  α  ≈  1,92
                On obtient :            41,5659 m2    environ

           Conclusion :         On a     41,57  m2    environ 

                   Pour la précision demandée 1 m2 ,on peut prendre  42 m2   :
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