PYTHON.2 INFO FEUILLE 10 Sujet EXAMEN MAI 2012

    INFO Sujet n°1  EXAMEN  BTS SIO 1        MAI 2012

            Le sujet porte sur les suite récurrentes.

            On connaît deux choses.

           • Le premier terme de la suite .

           •  la relation de récurrence liant deux termes immédiatement consécutifs.

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Vous disposez de 30minutes sur papier et 30 minutes sur ordinateur pour réaliser ce travail.

                            Tout résultat doit être justifié.

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      Premier travail

          Soit la suite récurrente ( u ) définie dans IN par:

               u0 = 1

               un+1 = 2 un  + 3  pour tout n dans IN 

         1.  Quelle fonction f permet d'obtenir un+1 à partir de u?

         2.  Ecrire un algorithme, en Python, qui retourne la valeur de un

            quand on rentre l'entier n.

         3. Donner les valeurs approchées de u6  , u7  .

        4. La suite est-elle arithmétique, géométrique , quelconque?

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 Réponse:

   1. Soit  f : x →2 x + 3

      On a :   un+1 = 2 un  + 3   pour tout n dans IN.

      c-à-d   un+1 = f( un  )   pour tout n dans IN.

     Conclusion :   La fonction est  f : x →2 x + 3

   2. Le programme possible est très simple.

def su(n):

       if n==0:

          return 1  

       else:

          return 2*su(n-1)+3

# PROGRAMME #

   ############

n=int(input("Donner l'indice n du terme de la suite considéré : n = "))

print "u",n,"=",su(n)

input("Appuyer sur Entrée pour arrêter")

On obtient par exemple:

>>>
Donner l'indice n du terme de la suite considéré : n = 6
u 6 = 253
Appuyer sur Entrée pour arrêter

On obtient par exemple:

>>>

Donner l'indice n du terme de la suite considéré : n = 7
u 7 = 509
Appuyer sur Entrée pour arrêter

3. Calcul de  u et   u.

    Il suffit de faire tourner le programme pour n =6 puis n = 7

     u= 253

     u≈ 509

4. Nature de la suite (  un ).

           On a :        un+1 = 2 un  + 3      pour tout n dans IN 

  •Elle n'est pas arithmétique.

             En effet:

           En transposant   un  on a:

             un+1 -  un  = un  + 3      pour tout n dans IN 

             Comme la suite ( u ) n'est pas constante ( par exemple u6 ≠ u7    )

             alors  un  + 3    n'est pas une constante mais dépend de n dans IN.

             Donc  un+1 -  u  n'est pas une constante mais dépend de n dans IN. 

 •Elle n'est pas géométrique.

            En effet :

                  u0 =1

                  u1 = 2 × 1 + 3 = 5

                  u22 × 5 + 3 = 13

            Comme     5 / 1    ≠  13 / 5    on a  :   u1 / u0    ≠ u2 / u1 

         Conclusion :     la suite récurrente ( un ) est quelconque.

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      Second travail

            Soit la suite récurrente ( u ) définie dans IN par:

               u0 = − 1

               un+1 = − un  + 5  pour tout n dans IN 

         1.  Quelle fonction f permet d'obtenir un+1 à partir de u?

         2.  Ecrire un algorithme, en Python, qui retourne la valeur de un

            quand on rentre l'entier n.

         3. Donner les valeurs approchées de u6  , u7  .

        4. La suite est-elle arithmétique, géométrique , quelconque?

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 Réponse:

       1.  Soit  f : x →- x + 5

      On a :   un+1 = - un  + 5   pour tout n dans IN.

      c-à-d   un+1 = f( u )   pour tout n dans IN.

     Conclusion :   La fonction est  f : x → - x + 5

   2. Le programme possible est très simple.

def su(n):

       if n==0:

          return -1  

       else:

          return -su(n-1)+5

# PROGRAMME #

   ############

n=int(input("Donner l'indice n du terme de la suite considéré : n = "))

print "u",n,"=",su(n)

input("Appuyer sur Entrée pour arrêter")

On obtient par exemple:

>>> 
Donner l'indice n du terme de la suite considéré : n = 6
  u 6 = - 1
Appuyer sur Entrée pour arrêter

On obtient par exemple:

>>>

Donner l'indice n du terme de la suite considéré : n = 7
   u 7 = 6
Appuyer sur Entrée pour arrêter

3. Calcul de  u et   u.

    Il suffit de faire tourner le programme pour n =6 puis n = 7

     u= - 1

     u≈ 6 

 En fait la suite prend alternativement pour les valeurs - 1 et 6.

4. Nature se la suite (  un ).

    On a:              u0 =- 1

                  u1 = - ( - 1 ) + 5 =6

                  u2 =- 6 + 5 =  -1

            Ainsi:       u1 - u0 = 7   et     u2 - u1 =-7

                                 u1 - u0    ≠    u2 - u1 

                                     Elle n'est pas arithmétique

               De plus:     u1 / u0 =   6 / -1    et   u2 / u1 = -1 / 6  

                                  u1 / u0    ≠ u2 / u1 

                                 Elle n'est pas géométrique 

     Conclusion :     la suite récurrente ( un ) est quelconque.

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    EXERCICE:

   Donner un programme qui permet d'avoir le terme d'indice n  saisi d'une suite

   récurrente et la somme des 10 premiers termes.

REPONSE:   

            On peut donner:

def su(n):
      if n==0 :
          return  1
      else:
           return  2*su(n-1)+3
   
# PROGRAMME PRINCIPAL#
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n=int(input("Saisir un nombre de valeurs : n = "))
S=0
for i in range(10):
        S=S+su(i)           
print su(n)

print "la somme est" ,S

            On obtient  par exemple:
>>> 
Saisir un nombre de valeurs : n = 5
125
la somme est 4062

>>> 

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