INFO EX 4 SPE BAC S JUIN 2010

                     INFO EX ERCICE 4       FIGURES              SPECIALITE. BAC 22 juin 2010

                EXERCICE 4. SPE.

                              Le plan est muni d'un repère orthonormal direct:

                              Soit le point A( 1 ).

                              L'affixe de A  est  z_A = 1. 

                      1. Soit T la transformation plane de traduction complexe:

                          Soit le point Ω( 1 + i √3 ).

                              a. Déterminons les images des points A et Ω par T.                        

                               On constate que :           T( A ) = A  et   T(Ω ) = Ω.

                               En effet :

                                •   z_T(A)  = - 1 + 2  

                                         c-à-d                 z_T(A)  =1  

                                         Donc :             z_T(A)   =  z_A

                                        On a bien:            T( A ) = A   

                                         Le point A est invariant  par T.
                              •   z_T(Ω)  = - ( 1- i √3) + 2 = - 1+ i √3  + 2

                                          c-à-d            z _T(Ω)  = 1 + i √3

                                          Donc :       z _{T(Ω)  =}   z_Ω

                                         On a  bien:      T(Ω )  = Ω  

                                           Le point Ω est invariant  par T.       

                                         Conclusion:   T( A ) = A   et   T( Ω ) = Ω

                                    b. Déduisons la nature et les éléments caractéristiques de T.

                                             L'écriture complexe de T est de la forme :

                                             avec a = - 1   et b  = 2

                                            On a :       | a | = | - 1 | = 1

                                             Donc T  est  un antidéplacement  avec au moins

                                            deux points invariants distincts  A et Ω .     

                                      Conclusion:  T est la réflexion d'axe ( A Ω ) .
                             c. Soit le cercle  (C ) de centre O et de rayon  1 .

                                  Déterminons T(  C ).

                                 T( C ) est le  cercle ( C ' ) de même rayon 1 et dont le

                                centre est le point  O ' = T( O ). 

                                        z_O'  = - 0 + 2 = 2      

                            Conclusion:   T( C ) est le cercle de centre O' ( 2 ) et de rayon 1.

                           2. a. Construction du point A'  du cercle C'  tel que:

                                     Figure:   

                                b. Au point M( z ) du cercle ( C ) on associe lepoint  M ' ( z ' ) du cercle ( C ' )

                                      tel que :

                                     Déterminons le module et un argument du nombre complexe non nul

                                       ( z ' - 2 ) / z.

                                      On a :   ( z ' - 2 ) / z = ( z ' - 2 ) / ( z - 0 )

                                       c-à-d     ( z ' - 2 ) / z =   ( z ' -   z_O' ) /  (  z - z_O   )  

                                       c-à-d     ( z ' - 2 ) / z =   z _{vect( O' M ' )} / z _{vect( O M  )}

                                                Son module est donc:    O'M' / OM = 1 / 1  = 1     

                                  Un de ses arguments est  une mesure de l'angle orienté

                                    On peut Considérer  Π / 3  .

                               Conclusion:     ( z' - 2 ) / z   est de module 1 et d'argument possible    Π / 3 . 
                                       

                                       Déduisons que z ' = e^{i Π / 3}  z + 2 .

                              D'après ce que l'on vient de voir l'écriture exponentielle

                             du nombre complexe non nul  ( z ' - 2 ) / z  est :

                                      ( z ' - 2 ) / z   = 1   e^{i Π / 3}

                              c-à-d      z ' - 2    =   e^{i Π / 3} z

                               c-à-d    z '  =   e^{i Π / 3} z    + 2          

                                Conclusion:   On a bienl'égalité demandée.  

                      c.  Donnons la nature et les éléments caractéristique de la transformation

                           r  d'écriture complexe :  z '  = e^{i Π / 3} z    + 2

                             Elle est de la forme:      z '  = a z + b      avec   a =  1 e^{i Π / 3}       et   b  = 2

                            On a  :          | a | = 1         et     arg( a ) = Π / 3  modulo( 2 Π).

                             r est donc une similitude directe de rapport 1  et d'angle   Π / 3

                             Donc r est une rotation d'angle Π  / 3 .

                         Donnons son centre  d'affixe  b / ( 1 - a ).

                            b / (  1 - a ) = 2 / ( 1 - e^{i Π / 3}     )

                       c-à-d     b / (  1 - a ) = 2 /  ( 1 - ( 1 / 2 )  - i ( √3   / 2) )

                       c-à-d     b / (  1 - a ) = 2 / ( 1 / 2  -  i√3 / 2 ) = 4 / ( 1 - i √3 )

                        c-à-d     b / (  1 - a ) =  4 (  1 + i √3 )   /   |  1 - i √3 |

                         c-à-d         b / (  1 - a ) =  4 (  1 + i √3 )   /  4 =   1 + i √3    

                         c-à-d         b / (  1 - a ) = 1 + i √3      

                 Conclusion:   r est la rotation de centre Ω( 1 + i √3 ) et d'angle  Π / 3  .

                3. A tout point M ( z ) du plan on associe le point M₁  milieu du segment [ M M ' ].

                    Donnons le lieu des points M₁  quand M décrit le cercle ( C ).

                    Soit  z₁   l'affixe de M_{1 .}

                     Donc          z₁    = ( z + z ' ) / 2

                     c-à-d           z₁    = (  z +  e^{i Π / 3} z    + 2 ) / 2 =   z (  1 +  e^{i Π / 3}  ) / 2  + 1

                      c-à-d          z₁    =  z ( 1 + (1 / 2 )  + i  (√3 / 2 )   ) / 2  + 1

                      c-à-d          z₁    =  z ( ( 3 / 2 ) + i  (√3 / 2 )   ) / 2  + 1

                       c-à-d          z₁    =  z (  ( 3 / 4 ) + i  (√3 / 4 )    ) + 1

                      c-à-d          z₁    =  z (√3 / 2 )  (  ( √3 / 2 ) + i  (1 / 2 )    ) + 1

                       c-à-d          z₁    =  (√3 / 2 )  e^{i Π / 6}    z  + 1

                           On reconnait l'écriture complexe de la forme     z₁    = a z + b

                           avec a = (√3 / 2 )  e^{i Π / 6}         et   b = 1       a = (1 +  e^{i Π / 3}  ) / 2

                          C'est  la traduction complexe d'une similitude directe  S.

                 ¤      | a | =  √3 / 2             C'est son rapport

                 ¤      arg( a ) = Π / 6   mod ( 2  Π )          c'est une mesure de son angle son angle 

                ¤    L'affixe de son centre est :

                          b / ( 1 - a ) = 1 / ( 1 -  (  ( 3 / 4 ) + i  (√3 / 4 ) ) ) = 1 / ( (1 / 4 ) - i (√3 / 4 ) )

                         b / ( 1 - a )   =   4 /  ( 1 - i √3 ) =  4 ( 1 + i √3 ) / | 1 - i √3 |²  = 4 ( 1 + i √3 ) /4

                          b/ ( 1 - a ) = 1 + i √3     Ω  est le centre de S est le point 

                            Ainsi:           S( O ) = A    car pour z = 0  on a      z₁   = 1
                                                 1 ×√3 / 2  = √3 / 2

                    Conclusion:    Le lieu des points M₁   est le cercle  image de ( C ) par S  .
         

                         C'est le cercle de rayon   √3 / 2   de centre  S( O ) = A