INFO EX 3 BAC BLANC 15 / 2 / 14 TS
EXERCICE 3
Soit la suite ( un ) définie sur IN* par:
1. Calculons u2 , u3 et u4 .
2. a. Démontrons que: un > 0 pour tout entier naturel non nul.
Faisons une récurrence sur IN*.
•n = 1
u1 = 0,5 0,5 > 0
l'inégalité est vraie au rang n = 1
• Soit n dans IN* quelconque.
Montrons que si un > 0 alors un + 1 > 0
On a :
Conclusion: Le résultat est prouvé.
b. Montrons que la suite ( un ) est décroissante sur IN*.
Montrons que un + 1 - un ≤ 0 pour tout n dans IN*
On a :
Comme n ≥ 1 on a 1 - n ≤ 0
De plus un > 0
Ainsi :
Conclusion: Le résultat est prouvé.
c. Conséquence:
La suite ( un ) est décroissante et minoré par 0.
Conclusion: La suite ( un ) converge.
3. a. Montrons que la suite ( vn ) est géométrique .
Donnons son premier terme et sa raison.
Soit n dans IN*.
On a :
v1 = u1 / 1 = 1 / 2
Conclusion:
La suite ( un ) est géométrique de raion 1 / 2 et de premier terme v1 = 1 / 2
b. Déduisons que pour tout entier naturel non nul on a :
Soit n dans IN*.
On a :
Conclusion: On a bien le résultat.
4. Soit la fontion f défine sur [ 1 , + ∞ [ par f ( x) = ln( x ) - x ln(2) .
a. Donnons sa limite en + ∞ .
Soit x ≥ 1
On a :
b. Déduisons la limite de la suite ( un ).
Comme un > 0 et
On a : ln( un ) = ln( n ) - ln( 2n ) = ln( n ) - n ln( 2 )
D'après la question précédente:
lim ( ln( n ) - n ln( 2 ) ) = - ∞
n → + ∞
Donc :
lim ln( un ) = - ∞
n → + ∞
Mais un = eln( un )
Comme lim eX = 0
X → - ∞
On en déduit :
Conclusion: lim un = 0
n → + ∞
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