TS INFO EX 3 BAC BLANC TS 15/2/14

                                   INFO   EX 3   BAC BLANC    15 / 2 / 14   TS

        EXERCICE 3

               Soit la suite ( un ) définie sur IN* par:

                                              U8

    1. Calculons u2  , u3   et u.

                    Im14          

     2. a. Démontrons que:     un > 0   pour tout entier naturel non nul.

                    Faisons une récurrence sur IN*.

          •n = 1   

                    u1   = 0,5       0,5 > 0

           l'inégalité est vraie au rang  n = 1

         • Soit n dans IN*  quelconque.

             Montrons que si     un > 0   alors   un + 1 > 0

           On a :  

                   U6

        Conclusion: Le résultat est prouvé.

      b. Montrons que la suite ( un ) est décroissante sur IN*.

             Montrons que    un   +  1   -  u ≤ 0  pour tout n dans IN*

            On a :  

                                 Sansu6

                        Comme  n ≥ 1   on   a    1 - n  ≤  0

                          De plus  un > 0

                         Ainsi :

                                    U7

                    Conclusion: Le résultat est prouvé.

         c. Conséquence:

                               La suite ( un ) est décroissante et minoré par 0.

                                Conclusion: La suite ( un ) converge.

       3.  a.  Montrons que la suite ( vn ) est géométrique .

                 Donnons son premier terme et sa raison.

                 Soit n dans IN*.

       On a : 

                 U9

                   v1   =   u1  / 1  = 1 / 2

                  Conclusion:

                         La suite ( un ) est géométrique de raion 1 / 2  et de premier terme       v1   = 1 / 2

      b. Déduisons que pour tout entier naturel non nul  on a :

                    U10             

       Soit n dans IN*.

           On a  :   

             U11

         Conclusion: On a bien le résultat.

   4.  Soit la fontion f  défine sur [ 1 , + ∞ [ par f ( x) = ln( x ) - x ln(2)  .

       a. Donnons sa limite en  + ∞ .

        Soit x ≥ 1

        On a :

           U12

    b. Déduisons la limite de la suite  ( un ).

          Comme   un > 0   et 

          U10  

         On a :    ln( un ) = ln( n ) - ln( 2n )  =  ln( n ) -  n ln( 2 )

             D'après la question précédente:

                lim (  ln( n ) -  n ln( 2 )  )   =  - ∞

                 n     + 

      Donc  :

           lim  ln( un ) =  - ∞

         n  →   + 

      Mais       un = eln( un )     

     Comme        lim eX    = 0

                         X    -   

     On en déduit :

 

        Conclusion:     lim un  = 0

                                      n   +  

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