INFO EX .3 .4 DS3 BTS1A

INFO. EX . 3 . 4    DS N°3   BTS1A    19 DEC.  2008          DEN. ET PROB.         55 mn


   

  EX.3                1. Dénombrons les grilles différentes remplies.

                              Pour chacune des 11 questions il y a trois façons de répondre.

                              Schéma:          I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I       

                              D'après le principe multiplicatif il y a  311   possibilités   .

                               Conclusion:   Il y a  177147  grilles différntes remplies possibles.

                           2. Dénombrons les grilles différentes avec exactement 4 bonnes réponses.

                               Pour chacune des 11 questions il y a deux façons de se tromper et une seule

                               bonne réponse.

                            Schéma  dans où les quatre bonnes réponses sont

                                            aux quatre premières questions:

                                             I 1 I 1 I 1 I 1 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I       

                        D'après le principe multiplicatif il y a  14 × 27   possibilités   .

            MAIS  il y a   C11     façons de choisir  quatre questions parmi onze

                            questions pour y mettre une bonne réponse.

                            Il y a donc     C11    14 × 27     grilles différentes possibles avec

                            exactement 4 bonnes réponses.

            Conclusion:   Il y a 42240 grilles différentes avec exactement

                                  4 bonnes réponses.

               3. Dénombrons les grilles différentes remplies avec au moins 9 bonnes réponses.

                 " AU MOINS 9 BONNES REPONSES" signifie:

          9 BONNES REPONSES   OU    10  BONNES REPONSES  OU   11 BONNES REPONSES.

                  •  Il y a  1 grille remplie avec 11 bonnes réponses.

                  •   Il y a   C11 10    110 × 21     grilles remplies différentes avec 10 bonnes réponses.

                 • Il y a   C11    19 × 22     grilles remplies différentes avec 9 bonnes réponses.

             Sommons:

                              1 +   C11 10    110 × 21     + C11    19 × 22    =  243

               Conclusion:   Il y a 243 grilles différentes avec au moins 9 bonnes réponses.


   EX.4         1. Donnons Card( Ω ).

                     L'urne contient 10 boules. ( 6 boules noire , 3 boules blanches , 1 boule rouge )

                    On tire simultanément  2 boules .

                    On a chaque fois une combinaison de deux boules choisies

                    parmi les dix boules .

                     L'univers des possibles   Ω  est l'ensemble des combinaisons de deux boules

                    choisies parmi les dix boules.

                                      Ainsi :            Card(  Ω ) =  C10    

                  Conclusion:    Card(  Ω ) =  45

                2. a. Donnons Card( A ) , Card( B ) , Card( C ) , Card(  D ).

                        A : " Les deux boules sont de la même couleur".

                        B :"Aucune des deux boules n'est rouge".

                        C : " Les deux boules ne sont pas de la même couleur"

                       D : " Une boule au moins est noire".

                       •   Card( A ) =1 8         car       Card( A ) =   C 6 2     +    C 3   = 15 + 3 

                          Il y a dans A  toutes les parties de deux boules noires ainsi que

                         toutes les parties de deux boules blanches.

                         Il est ici impossible d'avoir deux boules rouges.

                       •    Card( B ) = 36        car          Card( B ) =   C 9 2     = 36

                           Il y a dans B toutes les parties de deux boules choisies

                           parmi les 9 boules non rouges.

                       •    Card( C ) =  27        car           Card( C ) = Card(  Ω  )  - Card( A )  = 45 - 18

                             C  est le contraire de A

                       •    Card( D ) = 39          car Card( D ) = Card(  Ω ) - C 4 2     = 45 - 6

                           D est le contraire de l'événement " Aucune des deux boules n'est noire".

                      Conclusion:      Card( A ) =18           Card( B ) = 36          Card( C ) =  27        

                                                 Card( D ) = 39         

                   b. Donnons  P( A ) , P (B ) , P C ) , P(  D ).

                         On est dans une situation d'équiprobabilité.

                       Donc

                       •  P( A ) = Card( A ) / Card( Ω )

                          Ainsi :   P( A ) = 18 / 45        c-à-d             P( A ) = 2 / 5

                     •  P( B ) = Card( B ) / Card( Ω )       

                         Ainsi :  P( B ) = 36 / 45                 c-à-d        P( B ) = 4 / 5

                     • P( C ) = Card( C ) / Card( Ω )  

                              Ainsi :      P( C ) = 27 / 45     c-à-d          P( C ) = 3 / 5

                     • P( D ) = Card( D ) / Card( Ω )  

                        Ainsi :      P( D ) = 39 / 45     c-à-d          P( D ) = 13 / 1 5

                 Conclusion:           P( A ) = 2 / 5

                                              P( B ) = 4 / 5

                                             P( C ) = 3 / 5

                                             P( D ) = 13 / 1 5

           c. NON.      P( A ∩ B ) ≠ P( A ) × P( B ) .

               En effet:  

                   On a 

                    A ∩ B = A          Donc    P( A ∩ B ) = P( A )

                   Mais   P( A )  ≠ P( A)  × P( B ) 

                   Comme P( A )  ≠ 0   et  P( B )  ≠  1

                   Conclusion:     P( A ∩ B ) ≠ P( A ) × P( B ) 

                 Les événements A , B ne sont pas indépendants.

           c.   On peut dire que  A ∩ C = Ø .

               Conclusion:   Les événements A , C sont incompatibles.