INFO. EX . 3 . 4 DS N°3 BTS1A 19 DEC. 2008 DEN. ET PROB. 55 mn
EX.3 1. Dénombrons les grilles différentes remplies.
Pour chacune des 11 questions il y a trois façons de répondre.
Schéma: I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I
D'après le principe multiplicatif il y a 311 possibilités .
Conclusion: Il y a 177147 grilles différntes remplies possibles.
2. Dénombrons les grilles différentes avec exactement 4 bonnes réponses.
Pour chacune des 11 questions il y a deux façons de se tromper et une seule
bonne réponse.
Schéma dans où les quatre bonnes réponses sont
aux quatre premières questions:
I 1 I 1 I 1 I 1 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I
D'après le principe multiplicatif il y a 14 × 27 possibilités .
MAIS il y a C11 4 façons de choisir quatre questions parmi onze
questions pour y mettre une bonne réponse.
Il y a donc C11 4 14 × 27 grilles différentes possibles avec
exactement 4 bonnes réponses.
Conclusion: Il y a 42240 grilles différentes avec exactement
4 bonnes réponses.
3. Dénombrons les grilles différentes remplies avec au moins 9 bonnes réponses.
" AU MOINS 9 BONNES REPONSES" signifie:
9 BONNES REPONSES OU 10 BONNES REPONSES OU 11 BONNES REPONSES.
• Il y a 1 grille remplie avec 11 bonnes réponses.
• Il y a C11 10 110 × 21 grilles remplies différentes avec 10 bonnes réponses.
• Il y a C11 9 19 × 22 grilles remplies différentes avec 9 bonnes réponses.
Sommons: 1 + C11 10 110 × 21 + C11 9 19 × 22 = 243 Conclusion: Il y a 243 grilles différentes avec au moins 9 bonnes réponses.
EX.4 1. Donnons Card( Ω ).
L'urne contient 10 boules. ( 6 boules noire , 3 boules blanches , 1 boule rouge )
On tire simultanément 2 boules .
On a chaque fois une combinaison de deux boules choisies
parmi les dix boules .
L'univers des possibles Ω est l'ensemble des combinaisons de deux boules
choisies parmi les dix boules.
Ainsi : Card( Ω ) = C10 2
Conclusion: Card( Ω ) = 45
2. a. Donnons Card( A ) , Card( B ) , Card( C ) , Card( D ).
A : " Les deux boules sont de la même couleur".
B :"Aucune des deux boules n'est rouge".
C : " Les deux boules ne sont pas de la même couleur"
D : " Une boule au moins est noire".
• Card( A ) =1 8 car Card( A ) = C 6 2 + C 3 2 = 15 + 3
Il y a dans A toutes les parties de deux boules noires ainsi que
toutes les parties de deux boules blanches.
Il est ici impossible d'avoir deux boules rouges.
• Card( B ) = 36 car Card( B ) = C 9 2 = 36
Il y a dans B toutes les parties de deux boules choisies
parmi les 9 boules non rouges.
• Card( C ) = 27 car Card( C ) = Card( Ω ) - Card( A ) = 45 - 18
C est le contraire de A
• Card( D ) = 39 car Card( D ) = Card( Ω ) - C 4 2 = 45 - 6
D est le contraire de l'événement " Aucune des deux boules n'est noire".
Conclusion: Card( A ) =18 Card( B ) = 36 Card( C ) = 27
Card( D ) = 39
b. Donnons P( A ) , P (B ) , P C ) , P( D ).
On est dans une situation d'équiprobabilité.
Donc
• P( A ) = Card( A ) / Card( Ω )
Ainsi : P( A ) = 18 / 45 c-à-d P( A ) = 2 / 5
• P( B ) = Card( B ) / Card( Ω )
Ainsi : P( B ) = 36 / 45 c-à-d P( B ) = 4 / 5
• P( C ) = Card( C ) / Card( Ω )
Ainsi : P( C ) = 27 / 45 c-à-d P( C ) = 3 / 5
• P( D ) = Card( D ) / Card( Ω )
Ainsi : P( D ) = 39 / 45 c-à-d P( D ) = 13 / 1 5
Conclusion: P( A ) = 2 / 5
P( B ) = 4 / 5
P( C ) = 3 / 5
P( D ) = 13 / 1 5
c. NON. P( A ∩ B ) ≠ P( A ) × P( B ) .
En effet:
On a
A ∩ B = A Donc P( A ∩ B ) = P( A )
Mais P( A ) ≠ P( A) × P( B )
Comme P( A ) ≠ 0 et P( B ) ≠ 1
Conclusion: P( A ∩ B ) ≠ P( A ) × P( B )
Les événements A , B ne sont pas indépendants.
c. On peut dire que A ∩ C = Ø .
Conclusion: Les événements A , C sont incompatibles.