EXERCICE sur les matrices et systèmes linéaires

                            Matrices et systèmes linéaires                   BTS  janvier  2016

    EXERCICE:

               VICTOR prépare un voyage, en haute ou basse saison, dans le sud de l'Europe.

               Il consulte une agence de voyage qui lui propose un séjour dans les villes 

              d'Aveiro , Braganza et Coimbra.

              On les notera respectivement A , B , C.

              Les tarifs journaliers, en centaines d'euros, pour une personne

             sont donnés par le tableau suivant:

         A      Aveiro B    Braganza     C        Coimbra
  Nombre de jours  1 1 1
 Tarif haute saison 2 2,5 1,5
 Tarif basse saison 1 2 1

                  1. Combien coûte un jour à Braganza en haute saison ?

                  2. Pour un séjour comportant  3 jours à Aveiro , 5 jours à Braganza et 2 jours

                     à Coimbra, en basse saison, combien VICTOR devra -t-il débourser ?

                 3. On note :

                                  Mrtc 1     

                      a. Calculer le produit P x M .

                      b.  Victor envisage un séjour de 3 jours à Aveiro , 2 jours à Braganza

                           et 5 jours à Coimbra.

                          Il demande donc à l'agence de voyage le prix d'un tel séjour.

                          L'agence de voyage lui répond qu'avec le calcul précédent il a ce qu'il faut pour

                          connaître toutes les informations.

                           Expliquer.

                      c. Victor pense pouvoir disposer d'un budget de 1500 € pour son séjour.

                           Peut-il faire ce séjour ? Expliquer.

                 4. Trouver le déterminant de la matrice P. ( noté det( P ) en maths )

                      Peut-on inverser la matrice carrée P?

                     Dans l'affirmative trouver son inverse P − 1  à l'aide de la calculatrice.

                  5.  VICTOR a vu dans une publicité de l'agence que l'on pouvait  

                       faire un séjour de 12 jours comportant a jours à Aveiro, b jours à

                        Braganza et c jours à Coimbra  coûtant 2250 € en haute saison et 1400 €   

                        en basse saison.

                               On note:

                                    Hdgr4

                         a. Traduire les informations de la publicité par un système linéaire sous forme matricielle.

                         b. Isoler X .Trouver X avec la calculatrice.

                             Donner la répartition des jours dans les trois villes.

                  6. Un ami valentin lui conseille de ne passer  qu'un seul jour à Braganza pendant

                      le séjour des 12 jours, quitte à y revenir par la suite.

                      Il a constaté qu'il pouvait ainsi faire une économie de 50 € en haute saison ou une

                      économie de 100 € en basse saison.

                      Donner le nombre de jours que VICTOR prévoit, dans cette éventualité,

                      dans chacune des villes.

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           Réponses:

            1. En haute saison un jour cûte 2,5 centaines d'euros c-à-d  250 €.

             2. Pour 3 jours en A , 5 jours en B et 2 jours en C il déboursera en basse saison:

                        3 x 1 + 5 x 2 + 2 x 1 = 15 centaines d'euros

                       C'est -à-dire    il déboursera 1500 €

                Cela revient à faire le produit matriciel :

                                    Damp45

            3. a Calcul de P x M:

                              De45tre

    b. Explications:

               10 est le nombre de jours du séjour.

               18,5 centaines d'euros est le prix en haute saison

              12 centaines d'euros est le prix en basse saison.

        c.  On a:       1200 ≤   1500 <1850

            VICTOR pourra faire ce séjour en basse saison uniquement.

     4. Det( P ) = 0,5.    Il est non nul.

               Donc on peut inverser la matrice carrée P

              Avec la calculatrice on a:

                                  Pz47re5

   5. a. Cela se traduit par le système:

                      P x X = Y

                Ve45tr7y

      b. Il vient:

                                          X  =  P − 1  x   Y

           c-à-d

                 Bv48de579h  

              Donc       a = 5

                               b = 2

                                c = 5

             Il passera:       5 jours à Aveiro , 2 jours à Braganza et 5 jours à Coimbra.

           6.  Il impose b = 1 .

                  La nouvelle matrice X est :

                            D47er5

                La nouvelle matrice Y est maintenant :

                      Sze457

             Considérons de nouveau : P x X = Y

                         c-à-d       X = P − 1 x Y

                        c-à-d 

                                 478lkj4p7   

                Ainsi:      a = 6

                                 b = 1 

                                 c = 5

          Donc:    Il passe 1 jour de plus à Aveiro soit  6 jours

                          Il passe 1 jour  à Braganza

                          Il passe 5 jours à Coimbra.

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