Devoir n° 10 21 mars 2015 TS1
EXERCICE 1
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [ 0, + ∞ [ par:
1. Montrer que la fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle [ 0, + ∞ [.
Etudier le signe de sa fonction dérivée f '.
Etudier sa limite éventuelle en + ∞.
Donner son tableau de variation:
2. On définit sur IN la suite ( un ) par son terme général.
a. Justifier que si n ≤ x ≤ n + 1 alors
f ( n + 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( n )
b. Montrer , sans chercher à calculer un , que pour tout
f( n + 1 ) ≤ un ≤ f ( n )
La suite ( un ) est est-elle convergente?
3. Soit la fonction F définie sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ par:
F( x ) = ( ln( x + 3 ) ) 2
a. Justifier la dérivabilité de F sur [ 0 , + ∞ [ et déterminer
pour tout réel positif x le nombre F ' ( x ) .
b. On pose pour tout entier naturel n ,
Calculer In .
4. On pose , pour tout entier naturel n ,
Sn = u0 + u1 + …............ + un − 1
Calculer Sn . La suite ( Sn ) est-elle convergente ?
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EXERCICE 2
On cherche une valeur approchée de l'intégrale
à l'aide de la méthode des rectangles.
Indications:
On a : s2 ≈ 0,65 et S2 ≈ 0,90
1. Compléter l'algorithme suivant qui calcule sn .
Début
Variables: n un entier s un réel
Entrer n , le nombre de subdivisions de l'intervalle [ 0 , 1]
0 → s
Pour i allant de ......... à ........
........... + s → s
Fin Pour
Afficher s
Fin
2. Modifier l'algorithme pour qu'il affiche aussi la valeur de Sn .
On considère la fonction f définie sur IR par :
f ( x ) = ln ( 1 + e − 2 x )
Le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité 3 cm.
1. Avec l'aide d'une calculatrice , calculer l'aire A de la partie
du plan délimité par la courbe représentant f , l'axe des abscisses ,
et les droites d'équations x = 0 et x = 1.
On exprimera A en cm2 avec deux décimales de précision.
2. En déduire la valeur de l'aire du domaine en bleu ci-dessous.
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