DV n° 10 TS1 21 mars 2015

                    Devoir  n° 10                  21 mars 2015    TS1

               EXERCICE 1

                 On considère la fonction f définie sur l'intervalle  [ 0,  + ∞ [  par:

                                          3k

                   2k

      1. Montrer que la fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle [ 0,  + ∞ [.

          Etudier le signe de sa fonction dérivée f '.          

          Etudier sa limite éventuelle en + ∞.

          Donner son tableau de variation:             

       2. On définit sur IN  la suite ( un ) par son terme général.

                                    8k

               a.  Justifier que si  n   ≤  x  ≤   n + 1     alors 

                           f ( n + 1 )  ≤  f ( x )   ≤ f (  n )                 

               b. Montrer , sans chercher à calculer un , que pour tout 

                             f( n + 1 )  ≤   un  ≤  f (  n ) 

                  La suite ( un ) est est-elle convergente?   

       3. Soit la fonction F définie sur  l'intervalle [ 0 , + ∞ [ par:

                           F( x ) =  ( ln( x + 3 ) ) 2  

                   a. Justifier  la dérivabilité de F sur  [ 0 , + ∞ [ et déterminer

                        pour tout réel positif x le nombre  F ' ( x ) .                  

                   b. On pose pour tout entier naturel n , 

                                         13k

                         Calculer In   .                              

       4. On pose , pour tout entier naturel n ,

                                Sn = u0 + u1 + …............ + un − 1   

                          Calculer Sn . La suite ( Sn ) est-elle convergente ?              

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            EXERCICE 2

              On cherche une valeur approchée de l'intégrale

                               12jk

        à l'aide de la méthode des rectangles.

           Indications:

  2jk

            On a : s2 ≈ 0,65   et S2 ≈ 0,90  

              1. Compléter l'algorithme suivant qui calcule sn .

                      Début 

                                  Variables: n un entier    s un réel

                    Entrer n , le nombre de subdivisions de l'intervalle [ 0 , 1]

                        0 → s

                      Pour i allant de  .........      à     ........       

                      ...........  +  s  →   s

                       Fin Pour

                      Afficher s

                      Fin 

                 2. Modifier  l'algorithme pour qu'il affiche aussi la valeur de Sn .                  

                 3. Programmer l'algorithme sur une calculatrice et déterminer les valeurs de
                        s100  et S100.
           
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              EXERCICE 3    

          On considère la fonction f définie sur IR par :

           f ( x ) = ln ( 1 + e − 2 x )

           Le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité 3 cm.

                               45jk 2

         1. Avec l'aide d'une calculatrice , calculer l'aire A de la partie

            du plan délimité par la courbe représentant f , l'axe des abscisses , 

            et les droites d'équations x = 0 et x = 1.

            On exprimera A en cm2  avec deux décimales de précision.

         2. En déduire la valeur de l'aire du domaine en bleu ci-dessous.

                      47jk 1

          

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