INFO EX 2 DV n° 7 22/1/14 TS1

                        EX 2           DV n ° 7    du 22 janvier 2014            TS1    

           EXERCICE 2

                     Soit la fonction Fof d'expression:

                             Fct      

                   1.  Justifier que cette fonction est définie sur IR.

                   2. Donner le signe de la fonction g : x → 1 - x ex  sur l'intervalle [ 1 , + ∞[ .

                   3.  Donner , sur l'intervalle [ 1 , + ∞ [ ,  le sens de variation  de la fonction

                                Fof   .

                   4. On considère la fonction u : x →  ex - x .

                       Exprimer

                                    Fof

                    à l'aide de  u et  u ' .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

             REPONSE :

                1.  Justifions que cette fonction est définie sur IR.

                      Pour cela montrons que  ex - x ≠ 0   pour tout x dans IR.

                      La fonction   k:  x →  ex - x   est définie et dérivable dans IR comme 

                      somme de telles fonctions.

                     Sa fonction dérivée est :        k ' :  x →  ex - 1

                     Soit x dans IR.

                       On a :                       k '( x ) =  ex - e0

                       Comme la fonction exp est strictement croissante sur IR.

                                 ex - e0   > 0      ssi      x > 0

                                ex - e0   <  0      ssi     x <  0

                                ex - e0   =  0       ssi   x =   0

                       Ainsi on obtient le tableau de variation :

                        Tab102 1

                       k  admet un minimum strictement positif 1 en x = 0 sur IR

                 Conclusion : La fonction f est bien définie sur IR.

               2.  Donner le signe de la fonction g : x → 1 - x ex  sur l'intervalle [ 1 , + ∞[ .

                      La fonction g est définie et dérivable sur [ 1 , + ∞ [  comme somme et produit 

                           de telles fonctions.

                        Soit x dans  [ 1 , + ∞ [.

                        Gprim 

                        Comme    1 + x > 0    et   exp( x ) > 0     pour tout x dans  [ 1 , + ∞ [.

                         On a:          g'( x ) < 0   pour tout x dans  [ 1 , + ∞ [.

                          g est strictement décroissante sur l'intervalle   [ 1 , + ∞ [.

                             g( 1 ) = 1 - e           et     1 - e < 0     

                         Ainsi :   g (1 ) < 0.

                         Le maximum de g sur l'intervalle   [ 1 , + ∞ [   est  négatif strictement .

                        On peut en déduire que :

                      Conclusion :     g < 0 sur  l'intervalle [ 1 , + ∞ [

                    3. Donons le sens de variation de f sur l'intervalle   [ 1 , + ∞ [.

                            Fct 

                       Donnee                         

                 Les fonctions u et v sont définies et dérivables sur  [ 1 , + ∞ [

                   v ne s'annule pas sur cet intervalle.

                  Donc f  est dérivable sur cet intervalle.  

                                    Fprime 1

                            Numer

                           Numer2

 

                           Constata                                                                          

                  Ainsi: on peut en déduire le signe de f '( x ):

                                      Conclusion:

                                       Tab900

                  4. On considère la fonction u : x →  ex - x .

                       Exprimons

                                    Fof

                    à l'aide de  u et  u ' .

                          u est définie et dérivable et u ' : x →  ex - 1

                       Conclusion:   On a       f  = u ' / u   

-------------------------------------------------------------------------------------