INFO EX 2 SYSTEME LINEAIRE

  INFO EX 2   SYSTEME LINEAIRE         MARS 2009

    EX 2

 Résoudre dans IR  le système linéaire suivant d'inconnues x , y , z .

    x   +  y    + z   = 6           

    2 x -  y + 2 z  = 9                             

    2x +  3 y - z   =   7     

c-à-d

 / 1   1  1 |    6  \        
|  2 - 1  2 |    9    |       
 \ 2   3 -1 |    7  /        

  La réponse devra être   S = { ( 3 ; 1 ; 2 ) }

  REPONSE:  Le premier pivot est 1
 / 1   1  1 |    6  \        
|  2 - 1  2 |    9    |       
 \ 2   3 -1 |    7  /        

On considère  L2  ←  L2  -  2 L1     et   L3   ←  L3 -  2 L.

On obtient le système équivalent suivant:

 / 1   1  1 |     6    \        
|  0 - 3  0 |   - 3     |       
 \ 0   1 -3 |    - 5  /       

On fait    L2  ↔  L3 

On obtient le système équivalent suivant :

 / 1    1   1 |     6    \        
|  0    1  -3 |   - 5     |       
 \ 0   -3   0 |    - 3  /       

   On permute les inconnues y et z.

   L'odre des inconnues sera alors x , z , y .

On obtient le système :

 / 1    1    1 |     6    \        
|  0   - 3    1 |   - 5     |       
 \ 0     0   - 3 |    - 3  /       

Le système est triangulaire.

Alors    L3    donne    y = 1

Puis     L2 donne  - 3 z + y = - 5

                c-à-d       z = ( y + 5 ) / 3  = 6 / 3 = 2

                   c-à-d     z = 2

   Enfin    L1  donne x + z + y = 6

         c-à-d                    x = - z - y + 6

          c-à-d                    x = - 2 - 1 + 6 = 3

           c-à-d                  x = 3

 Conclusion: S ={ ( 3 ; 1 ; 2 ) }

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