DV n°1 TS pour le 21/09/12

                            Devoir n° 1   TS1                 Pour le 21 septembre 2012

            EXERCICE 1

                  Soit la suite récurrente ( un ) définie sur IN par:

                               u0   = 2

                               un + 1     = 0,5 un  + 0,5   pour tout n dans IN.

                  Soit   vn  = un  - 1  pour tout n dans IN.

                  Le plan est muni d'un repère orthonormal.

              1. Réprésenter à l'aide d'un web les premiers termes de la suite ( un )

                 sur l'axe des abscisses.

              2.  Que pouvez- vous conjecturer quant au sens de variation de 

                  la suite ( un ) ?

              3. Justifier par récurrence sur IN cette conjecture.

              4. Etablir que 0 ≤  un  ≤ 2  pour tout n dans IN .

              5. Démontrer que la suite ( vn ) est géométrique.

             6. Exprimer  vn  en fonction de n.

                En déduire l'expression de  un  en fonction de n.

             7.  Etablir que la suite (  un  ) converge vers 1.

             8. Calculer la somme  u0 + ..... +  un  en fonction de n.

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            EXERCICE 2

                   Soit la suite ( w)  définie sur IN* de terme général  

                         wn   = 1 / ( n ( n +1)  )   pour tout n dans IN*.

                1. Trouver deux réels a et b tels que :

                          wn   = a / n   + b / ( n + 1 )      pour tout n dans IN*

               2.  Soit la somme: 

                        somme-de-n-termes-1.gif         

                     pour tout n dan IN*.

                    En écrivant verticalement les termes de la suite ( wn  ),              

                   vérifier  que   Sn  = 1 -  1/ ( n + 1 )    pour tout n dans IN*                        

               3. La suite   s-indice-n-3.gif       

                   est -elle convergente?

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             EXERCICE 3.

                         Soit x un réel positif.

                       Montrer par récurrence sur IN  que :               

                          bernoulli.gif     

                              pour tout n dans IN

                                     ( Inégalité de Bernoulli )

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