INFO EX1 FEUILLE 1 FONCTION Exp TS Décembre 2012

      INFO EX1     FEUILLE n°1   D'EXERCICES   FONCTION EXP      TS    Déc. 2012

          EXERCICE 1      

  1. Soit les fonctions:

                              b1.png

             Etablir que     g  ≥ 0  et   f  ≤ 0 sur l'intervalle  [ 0 ; 0,5 ].

      2.   En déduire l'encadrement:

            b2.png

              pour tout x dans l'intervalle [ 0 ; 0,5 ].

      3.  Montrer que :

               b3-1.png

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   REPONSE:

           1.  Les fonction f et g sont définies et dérivables sur [ 0 ; 0,5 ] comme

               somme de telles fonctions.

             On a:

                   c1.png

                f ' et g ' sont aussi définies et dérivables dans   [ 0 ; 0,5 ] 

               comme somme de telles fonctions.

                  c2.png                      

                 f ' et g ' sont aussi définies et dérivables dans  [ 0 ; 0,5 ] 

                 comme somme de telles fonctions.

                   c3.png

               • On a:    f '( x ) =  1 - ex =    e0   -  ex

                 avec    0 ≤ x    car x  est dans l'intervalle  [ 0 ; 0,5 ]

                Or  Exp est une fonction strictement croissante sur [ 0 ; 0,5 ] 

                Ainsi on a:                  f '  ≤ 0   sur [ 0 ; 0,5 ]

                 • On a :      e ln 2   = 2

                           et        2 - ex  =    eln 2   -  ex

              avec      x ≤  0,5 < ln 2       car x  est dans l'intervalle  [ 0 ; 0,5 ].

              Or   Exp est une fonction strictement croissante sur [ 0 ; 0,5 ]. 

             Donc on a :    g ' ≥ 0   sur    [ 0 ; 0,5 ]. 

              Faisons deux tableaux de variations.    

x 0                      0,5
f ''' ( x)               -
f '' ( x )  0         ↓     négatif
f ' (x)  0         ↓     négatif
f(x )  0         ↓     négatif

              f '' ( 0 ) = 1 + 0 - e0   = 1 - 1 = 0

             f ' ( 0 ) = 1 + 0 +  02  / 2  -  e0   =  1 - 1 = 0

            f( 0 ) = 1 + 0 +  02  / 2    +   03  / 6  -  e0    =  1 - 1 = 0

       On a bien:

    Conclusion:       f  ≤ 0  sur l'intervalle  [ 0 ; 0,5 ]. 

x 0                      0,5
g ''' ( x)               +
g '' ( x )  0         ↑     positif
g ' (x)  0         ↑     positif
g(x )  0         ↑     positif
                     

              g '' ( 0 ) = 1 + 2 × 0 - e0   = 1 - 1 = 0

             g ' ( 0 ) = 1 + 0 +  02   -  e0   =  1 - 1 = 0

            g( 0 ) = 1 + 0 +  02  / 2    +   03  / 3  -  e0    =  1 - 1 = 0

           On a bien:

    Conclusion:       g  ≥   0  sur l'intervalle  [ 0 ; 0,5 ]. 

           2. Déduisons l'encadrement de ex .    

              Comme   f ≤ 0   et   g  ≥  0 sur   [ 0 ; 0,5 ] 

             on a   pour tout x dans   [ 0 ; 0,5 ] :

              c4.png

             c-à-d    en isolant    ex   :

               c5.png

                Conclusion : L'encadrement  demandé est avéré.

         3. Application numérique.

                 Posons x =  1 / 2

                Il vient:

                           c6.png

             comme 

                               b4-1.png

                  on a :

            Conclusion:

                                    b3-1.png 

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